Владимир Левшин - Путевые заметки рассеянного магистра

Все снова загалдели и потребовали разъяснения: что ещё за однозначная сумма цифр?

— Всем известно, — сказал я, — что однозначным числом называется число, состоящее из одной цифры, двузначное число состоит из двух цифр и так далее. Так вот, цифры числа надо складывать до тех пор, пока сумма не окажется однозначным числом. Для примера возьмём число 187254683. Сумма его цифр: 1+8+7+2+5+4+6+8+3=44. Теперь найдём сумму цифр числа 44. Это 8. Вот вам и однозначная сумма цифр заданного числа. Так вот, если в прочитанном вам числе вычислить однозначную сумму его цифр и дополнить её до девятки, то это дополнение и будет искомой, то есть зачёркнутой цифрой.

Нулик, по своему обыкновению, стал проверять моё правило на примере и выбрал число, названное девочкой в очках: 5871. Однозначную сумму цифр он нашёл правильно: 5+8+7+1=21, далее 2+1=3, дополнение до девяти равно 6. Ура!

Ребята снова загалдели. Сева приложил палец к губам:

— Эй, вы, потише! А не то сюда весь дом сбежится…

Когда все немного успокоились, Олег предложил для вычисления однозначной суммы цифр ещё более короткий способ, чем мой. Он просто-напросто вычёркивал в числе цифры, которые в сумме давали 9. Для этого он воспользовался моим же примером: 187 254 683. Сначала он вычеркнул 1 и 8, затем 7 и 2, далее 5 и 4, наконец, 6 и 3. Осталась одна цифра — 8!

И снова шум, гам, крики «ура!»…

— Но самое замечательное, — сказал я, когда активисты наконец усовестились, — что с помощью однозначной суммы цифр можно проверять правильность, а лучше сказать — неправильность некоторых вычислений. Вот, например, сложим числа 138 и 244. Сумма их равна 382. Допустим, мы ошиблись и получили в сумме 381. Произведём проверку. Однозначная сумма цифр числа 138 равна 3, а числа 244 — 1. Сумма этих сумм: 1+3=4. Но так как однозначная сумма цифр числа 381 равна 3, значит, сразу видно, что допущена ошибка. А вот однозначная сумма цифр числа 382 как раз и есть 4. Точно так же можно проверить правильность ответа при умножении и при возведении в степень.

Нулик потребовал немедленных доказательств, но из-за позднего времени мы их отложили и перешли ко второму вопросу.

К счастью, на него ушло гораздо меньше времени, несмотря на то что активисты галдели по-прежнему.

Улучив удобный момент, Сева изловчился и довёл до сведения малопочтенного собрания, как летели утки после выстрела барона Мюнхгаузена.

— Вначале, как вы помните, они летели вереницей, по порядку номеров: 1, 2, 3, 4, 5 и так далее. Но, услышав выстрел, мигом перестроились и образовали в воздухе острый угол. При этом ясно, что одну сторону угла составляли утки с чётными номерами — 2, 4, 6, 8… а другую сторону — с нечётными: 1, 3, 5, 7, 9… И конечно же, на бечёвке оказались утки нечётные. Потому что, когда барон складывал номера этих уток подряд, у него вслед за единицей оказалось число 4 (1+3=4), далее 1+3+5=9, затем 1+3+5+7=16… Таким образом, в сумме у него всё время получались квадраты количества отсчитываемых уток: 1=12, 4=22, 9=32, 16=42 и так далее.

— До-ка-за-тель-ства! До-ка-за-тель-ства! — скандировали активисты.

— Обратите внимание, — успокоил их Олег, — любое нечётное число можно получить, умножив его порядковый номер на два и вычтя затем единицу. Например, 7 — четвёртое по порядку нечётное число. Умножим 4 на 2 и вычтем 1 — получим: 4*2–1=7. Обобщая это правило, можно сказать, что всякое «иксовое» нечётное число равно (2x-1). А теперь сложим икс последовательных нечётных чисел, начиная с единицы. По правилу арифметической прогрессии надо сложить первый и последний члены, умножить сумму на число всех членов и разделить на два. Итак, обозначив сумму икс членов латинской буквой S, найдём, что

— Что и требовалось доказать, — закончил Олег под дружный вздох удовлетворения.

Переждав очередной взрыв активистских эмоций, Таня быстро и толково разобралась в другой закономерности утиных номеров. Она обратила внимание присутствующих на то, что если брать по порядку сперва число 1, затем сумму двух последующих нечётных чисел: 3+5, далее сумму трех последующих нечётных чисел: 7+9+11, затем — сумму четырех и так далее, то при этом как раз получается та любопытная зависимость, которую подметила Единичка. Эти суммы представляют из себя кубы последовательных целых чисел:

1 = 13

3+5 = 23 = 8

7+9+11 = 33 = 27

13+15+17+19 = 43 = 64 и так далее.

— Точно подмечено, — сказал Олег. — Но из этого вытекает ещё одна любопытная штука. Попробуем сложить правые и левые части Таниных равенств:

1+3+5+7+9+11+13+15+17+19 = 13+23+33+43.

— Но ведь только что, — продолжал Олег, — Сева доказал, что левая часть этой суммы должна быть полным квадратом. А так как слева написано 10 последовательных нечётных чисел, то очевидно, что 102=13+23+33+43. Но это ещё не все. Ведь 10=1+2+3+4, не так ли? Следовательно, получается вот что:

(1+2+3+4)2 = 13+23+33+43.

— Это что же, справедливо только для четырех чисел? — спросил взлохмаченный активист.

— А мы сейчас проверим, — вступил в свои права президент.

Оказалось, что правило пригодно и для двух, и для трех, и для пяти, и шести, и семи чисел…

— А теперь — перерыв! — решительно объявил Нулик.

— Перерыв! Перерыв! — загалдели активисты. И все, с удовольствием покинув тесную комнату, повалили во двор — поразмяться. Энергичнее всех «разминался» Пончик, — его, бедного, так стиснули на заседании, что он и дышать-то не мог, не то что двинуться!

После разминки выяснилось, что половина актива, уподобившись только что выпавшему снежку, растаяла. Зато другая половина честно вернулась на заседание и не прогадала: обсуждался волшебный полет Магистра в лифте имени Альберта Эйнштейна.

Слово по этому вопросу единогласно предоставили мне.

— Вы, конечно, не забыли, — начал я, — что лифт унёс наших путешественников очень далеко от Земли, так далеко, что рядом не оказалось никакого небесного тела, а значит, и поля тяготения. А раз так, естественно, что все находящееся в кабине лифта, в том числе Магистр с Единичкой, потеряло вес и повисло в воздухе. Свободно плавал в воздухе карандаш. Перестал раскачиваться маятник… Но вот наступил момент, когда все пришло в движение: маятник снова закачался, а люди и вещи попа́дали на пол, то есть стали вести себя так, как вели бы себя на земле. (Нет-нет, Нулик, оставь вазу в покое. На сей раз мы обойдёмся без твоих экспериментов.) Итак, что же произошло в кабине?

— Кабина вновь очутилась в поле земного притяжения, — предположил Сева.

— Возможно, — уклончиво ответил я. — Именно так и полагал Магистр. Но Магистр — человек трезвый, а мы с вами фантазёры. Почему бы нам не предположить, что кто-то, какое-то фантастическое существо потянуло лифт вверх? И не как-нибудь, а именно с тем самым ускорением, с которым все предметы свободно падают на землю. Попробуй тут угадай, что же произошло на самом деле? Ведь в этом случае поле земного тяготения и равномерно ускоренное движение проявляются одинаково. Они равновозможны, или, как говорят, эквивалентны. Именно в этом и состоит знаменитый принцип эквивалентности, высказанный Эйнштейном в его общей теории относительности. Из этого принципа вытекают многие неожиданные выводы, но… говорить о них нам (я великодушно сделал ударение на слове «нам»), пожалуй, рановато. Всякому овощу своё время!

— Ну вот, — недовольно пробурчал президент, — всегда так…

— Ничего не поделаешь, старина, — утешал его Сева. — Хватит с нас и того, что мы наконец поняли, почему лифт назван именем Эйнштейна. Так что перейдём к следующему приключению Магистра.

Но из Севиного благого намерения ничего не вышло: президент срочно вспомнил, что в Арабелле, в доме на Восьмой улице, тоже имеется лифт и неплохо бы в нём прокатиться. Сунув под мышку Пончика, он удалился, а заседание… Заседание, сами понимаете, закрылось.

Ну-с, хотя голова моя ещё побаливает после ушиба, я всё же продолжу свои заметки. Конец их вы уже знаете, начало — тоже. Так что остаётся середина.

Итак, мы с Единичкой очутились у подножия горы Парна́с, стало быть в Греции, к тому же — в Древней Греции, в VII веке до нашей эры.

Люблю путешествовать во времени, особенно назад, — всегда увидишь что-нибудь новенькое! К сожалению, на этот раз ни спортивных, ни поэтических соревнований мы не застали: они тут проводятся раз в четыре года. Зато мы побывали в Дельфах и видели великолепный храм Аполло́на, где находится знаменитый дельфийский оракул.

Говорят, время от времени оракул начинает вещать человеческим голосом и предсказывать будущее. Единичка над этими слухами только смеётся: это, мол, все мифы — значит, выдумки. Какая-нибудь там пи́фия спряталась за ширму и болтает, что ей вздумается… Признаться, и я полагаю так же, но зачем говорить об этом вслух и обижать местных жителей?! Никогда не надо показывать, что ты умнее других. Я, например, никогда так не делаю.