Инесса Раскина - Логика для всех. От пиратов до мудрецов

Ответ. Надо купить яблоки, сливы и персики.

Д11. 1) Луна сделана не из сыра или Солнце не из масла.

2) Я не видел медведя или он видел меня.

3) Я боюсь львов или крокодилов.

4) Лошадь не заблудилась и ее не засыпало снегом.

5) Я не отправился в разведку ни на коне, ни на ядре.

Д12. Третья дверь может вести только в учительскую. Значит, за дверью с табличкой «Спортзал» не спортзал и не учительская, т. е. столовая.

Ответ. В столовую.

Д13. Если Руссо прав, то Жан и Жак оба лгут, чего не может быть (вспомните, что говорит Жан). Значит, Руссо лжет. Поэтому Жак прав. А тогда Жан лжет.

Ответ. Правду говорит только Жак.

Д14. Если А – рыцарь, то ОБЕ части его высказывания правдивы. Но в одной из них сказано, что он лжец. Противоречие. Значит, А – лжец. Первая часть его высказывания истинна, поэтому ложной должна быть вторая часть (тогда и все высказывание ложно). Поэтому Б тоже лжец.

Ответ. Оба лжецы.

Д15. Решение 1. Все трое рыцарями быть не могли (в таком случае они не стали бы называть друг друга лжецами).

Два рыцаря и один лжец тоже быть не могли (в таком случае оба утверждения ложны, а лжец только один).

Два лжеца быть могли. Например, Ох и Ух, которые и сделали ложные утверждения, так как Ах – рыцарь.

Все трое лжецами быть не могли, так как в таком случае оба утверждения истинны.

Решение 2. Если оба ответа ложны, то среди троих двое солгали и есть хотя бы один рыцарь, то есть лжецов ровно двое. Если же среди ответов есть верный, то его дал рыцарь, а двое им названных – лжецы. Пример: рыцарь Ух сказал, что Ах и Ох лжецы.

Ответ. Двое.

Д16. Если бы А был лжецом, его высказывание оказалось бы истинным. Поэтому он рыцарь. В таком случае он говорит правду, и Б – лжец.

Комментарий. Задача напоминает парадокс лжеца: здесь также сказанное имеет отношение к его истинности. Но наличие второго островитянина Б превращает парадокс в задачу с однозначным ответом.

Д17. Среди них нет рыцарей, и оба они не могут быть лжецами, потому что тогда они бы сказали правду. Значит, либо оба они хитрецы, либо один хитрец, а другой лжец.

Д18. Решение 1. Посмотрим, кто может быть рыцарем. Это не А, называющий себя хитрецом. И не Б, так как в этом случае никто не мог бы быть лжецом. Значит, рыцарь – В. Он говорит правду, поэтому Б – хитрец. Тогда А – лжец. Заметим, что высказывание хитреца Б ложно.

Решение 2. Предположим, что А сказал правду и он действительно хитрец, тогда В солгал и он лжец. В этом случае Б должен быть рыцарем. Но его высказывание неверно, так как В никогда не говорит правду. Получили противоречие. Предположим теперь, что А солгал, тогда он лжец, и, следовательно, высказывание Б ложно. Значит, Б – солгавший хитрец, а В – рыцарь, что подтверждается его верным высказыванием.

Ответ. А – лжец, Б – хитрец, В – рыцарь.

Д19. Высказывания Ромы и Коли противоположны, поэтому истинно ровно одно из них. Это же можно сказать о высказываниях Маши и Нины. Кроме того, из высказывания Саши следует, что либо он говорит правду, либо Аня. Значит, из высказываний Ани и Саши истинно тоже ровно одно. Поскольку истинных высказываний ровно три, оставшиеся высказывания (Володи, Егора и Олега) ложные. Окно разбила Нина.

Ответ. Нина.

Д20. В понедельник, вторник, среду, пятницу и воскресенье.

Д21. Если в думе есть хоть один рыцарь, то всего в ней четное число депутатов, и спикер – лжец. А если нет ни одного рыцаря, то он тем более лжец!

Ответ. Лжец.

Д22. Формально: см. третью строку таблицы истинности высказывания «А ⇒ Б». Неформально: у волка есть и другие причины для радости.

Ответ. Нет.

Д23. Достаточно привести любой пример, в котором все три высказывания верны, но Иван не является братом Марьи. Иван может приходиться Марье отцом, дядей, племянником и т. д.

Ответ. Нет.

Комментарий. К ошибочному выводу можно было бы прийти, перепутав в первом высказывании причину и следствие и ошибочно заменив его на обратное: «Если Иван и Марья – родственники, то Иван – брат или сын Марьи».

Д24. Если этот житель рыцарь, то он сказал правду, и его друг действительно лжец. А если он сам лжец? Тогда любое утверждение, начинающееся со слов «Если я рыцарь…» оказывается истинным и просто не может быть произнесено лжецом!

Ответ. Да; он – рыцарь, а его друг лжец.

Д25. Если у Волкова нет собаки, то ее нет и у Львова, тогда собаку держит Щукин. В таком случае у Волкова кошка, а у Львова рыбки. Но по последнему условию если у Львова рыбки, то у Щукина кошка. Полученное противоречие показывает, что у Волкова есть собака. Если бы кошка жила у Щукина, то у Волкова был бы аквариум. Значит, кошку держит Львов, а рыбок – Щукин.

Ответ. У Львова кошка, у Волкова собака, а у Щукина рыбки.

Д26. Из третьего и четвертого условий Нуф-Нуф и Наф-Наф либо оба виновны, либо оба невиновны. Поэтому по второму условию Ниф-Ниф невиновен. Поэтому и Нуф-Нуф с Наф-Нафом невиновны (из пятого условия). Итак, никто челюсть украсть не мог, а обвинение в лжесвидетельстве Шерлок Холмс предъявит Серому волку.

Д27. Иа-Иа не мог участвовать в краже одновременно с Тигрой (так как им требуется различное число соучастников). Поэтому если Тигра виновен, то вместе с ним был либо Пятачок (а тогда и Винни-Пух), либо только Винни-

Пух. Если виновен Иа-Иа, то два его соучастника – Пятачок и Винни-Пух. А если ни Тигра, ни Иа-Иа ни при чем, то мед украл либо Пятачок (а тогда он был вместе с Винни-Пухом), либо только Винни-Пух.

Ответ. Винни-Пуха.

Д28. 1) Приведем контрпример: —5; 2; 2; 2; —5; 2; 2; 2; -5.

Ответ. Нет.

2) Возьмем произвольные четыре числа. Их сумма положительна, поэтому положительно хотя бы одно из этих чисел. Возьмем его, а остальные восемь чисел разобьем на две четверки чисел, сумма которых положительна.

Ответ. Да.

Комментарий. Для обоснования отрицательного ответа в первом случае достаточно одного контрпримера. Для обоснования положительного ответа во втором случае необходимо доказательство.

Д29. 1) Ложно. Можно сделать лишь вывод о том, что некоторые улитки любят кошек.

2) Истинно.

Д30. 1) Устрица не является ископаемым животным.

2) Со мной никогда не случалось этого.

3) Вывод сделать нельзя.

4) Дети не управляют крокодилами.

5) Ни один из твоих подарков не сделан из олова.

Д31. Из условия следуют только два утверждения – второе и четвертое.

Д32. Это задача-шутка. Первый вывод в бытовой речи допустим, хотя автор «Мертвых душ» – не единственный носитель фамилии Гоголь, и нельзя исключать наличие портрета другого Гоголя. Второй вывод явно неверен. Отличие в употреблении неопределенного местоимения «какой-то». Фразам с неопределенными местоимениями в логике соответствуют не высказывания, а предикаты; их серьезное изучение выходит за рамки данной книжки.

Д33. Если бы такое число существовало, то вдвое меньшее число тоже было бы рациональным и положительным.

Ответ. Нет.

Д34. Предположим, что заработок Папы Карло каждый месяц был целым. Перечислим месяцы в порядке возрастания заработка. Тогда за первый месяц Папа Карло заработал не менее нуля золотых, за второй не менее одного…, за двенадцатый не менее одиннадцати. Всего он заработал не менее 0 + 1 + 2 +.. + 11 = 66 золотых, что противоречит условию. Значит, предположение неверно, и какой-то из заработков не был целым.

Д35. На круге чередуются группы подряд идущих четных чисел с группами подряд идущих нечетных. Предположим, что нет двух четных чисел рядом. Если в каждой «четной» группе – ровно одно число, то таких групп 1005. Значит, и «нечетных» групп 1005, то есть столько, сколько нечетных чисел. Тогда и в каждой «нечетной» группе – по одному числу, то есть четные и нечетные числа строго чередуются. Но это значит, что либо каждое четное число больше обоих соседних нечетных, либо каждое четное число меньше обоих соседних нечетных. В первом случае не найдется места для числа 2, а во втором – для числа 2010. Противоречие.

Д36. Обсуждение. С чего начать, ясно. Надо предположить, что разрезание возможно, и прийти к противоречию. Но к какому? Подумаем, в чем сложность разрезания: надо куда-то деть круглые куски с границы круга. Для этого нужно вырезать подходящие круглые дополнения, но при их вырезании получится что? Тришкин кафтан! Остается только толково пояснить, чем отличаются «плохие» круглые участки от «хороших».

Решение. Предположим, что такое разрезание возможно. Рассмотрим кусочки, составляющие квадрат. Выберем из них все те, в границу которых входят дуги, которые составляли границу круга или являются дугами того же радиуса г. В квадрате суммы длин этих дуг, к которым кусочки примыкают «изнутри» и «снаружи» (с вогнутой и выпуклой сторон), равны. А в круге разность между теми и другими должна равняться длине окружности 2 кг. Противоречие.