Лев Генденштейн - Алиса в стране математики

— Неужели короли могут сейчас что-то обсуждать? — со смехом спросила Алиса.

— Могут, — ответил Кот, тоже смеясь. — На то они и короли!

И вдруг быстрый танец сменился красивым медленным вальсом.

— Как же теперь пажи будут танцевать с королевами? — удивилась Алиса. — Вальс ведь танцуют парами, а на каждую королеву приходится по восемь пажей!

— Сейчас увидишь, — отозвался Кот.

Фигуры внизу снова перестроились, и Алиса увидела, что пажи и королевы танцуют парами! Белые пажи вели чёрных королев, а чёрные — белых: казалось, вся шахматная доска внизу кружится в ритме вальса, и у Алисы закружилась голова.

— Как это получилось? — тряхнув головой, с недоумением спросила Алиса.

— Присмотрись к номерам, и ты всё поймёшь, — посоветовал Кот.

Алиса взяла подзорную трубу и увидела, что номер каждой королевы совпадает с номером той пешки, которая с ней танцует!

— Я поняла! — воскликнула Алиса. — Раз Королевы и пешки есть со всеми номерами, то для любой пешки нашлась королева с таким же номером! И ни одна пешка не осталась в стороне. Действительно, очень удобно, что на этом балу у всех фигур есть номера!

— На таком балу это просто необходимо! — отозвался Кот. — Но смотри: сейчас будут танцевать все фигуры!

— Неужели каждый король будет танцевать с королевой и пажом? — удивилась Алиса. — Странный какой-то танец втроём...

Вальс сменился котильоном, и, к удивлению Алисы, оказалось, что все снова танцуют парами! Взяв подзорную трубу, Алиса увидела, что королевы с чётными номерами танцуют с пажами, а королевы с нечётными номерами — с королями. И поэтому королев хватило и пажам и королям!

— Всё это очень похоже на фокусы! — воскликнула Алиса.

— Никаких фокусов! — торжественно заявил Кот. — Всё строго по правилам. Просто ты ещё не привыкла к бесконечным множествам... Приглашаю тебя на танец!

— Как же мы будем здесь танцевать? — удивилась Алиса, показывая на маленькую корзину воздушного шара.

Вместо ответа Кот потянул какую-то верёвочку, и шар начал плавно снижаться.

Через несколько минут корзина коснулась шахматного паркета. Кот привязал её к серебряному крюку, который оказался как раз рядом с ними, и Алиса под руку с Чеширским Котом ступила на паркет.

Алисе никогда в жизни не приходилось танцевать котильон, но оказалось, что она прекрасно знает все фигуры. А Чеширский Кот танцевал с такой поразительной грацией, будто всю жизнь занимался только бальными танцами!

Скоро Алиса заметила, что вокруг них начали появляться её знакомые.

Кубарем катался под музыку Шалтай-Болтай: он был цел-целёхонек!

Лев и Единорог исполняли танец, похожий чем-то на смертный бой за корону.

Белый и Чёрный Рыцари гарцевали на белой и чёрной лошадях; при этом и Рыцари, и лошади вежливо раскланивались друг с другом.

Шляпник и Мартовский Заяц, пританцовывая, пили чай. Они держали большой поднос, на котором крепко спал Соня — он сидел верхом на чайнике и качал головой точно в такт музыке.

Грифон танцевал с Черепахой Будто; она танцевала в три раза медленнее, чем Грифон, но оба они танцевали с большим удовольствием.

Братья Ха-Ха и Ах-Ах весело отплясывали в своих шляпах для ног — при этом братцы так высоко подбрасывали ноги, что их шляпы для ног оказывались выше, чем настоящие шляпы!

Король Червей галантно вёл Королеву Червей — она была всё так же сурова, но здесь её никто не боялся.

Валет Червей танцевал... угадайте, с кем? С Герцогиней!

— Неужели Младенец всё-таки заснул? — с улыбкой спросила Алиса Герцогиню.

Вместо ответа Герцогиня показала глазами на воздушный шар: в корзине сидел Младенец и с интересом смотрел по сторонам.

Вдруг Алиса заметила, что канат, которым корзина привязана к серебряному крюку, вот-вот развяжется!

— Младенца сейчас унесёт одного! — мелькнуло в голове у Алисы.

Она бросилась к воздушному шару, но не успела: узел развязался совсем, и корзина уже оторвалась от паркета. В последний момент Алиса прыгнула в корзину.

— Вдвоём нам будет веселей! — обрадовался Младенец. Шар начал набирать высоту. Алиса глянула вниз: все подняли головы и смотрели вслед улетающему воздушному шару. Алиса помахала рукой, и в ответ внизу закачался лес рук.

— До свидания! — крикнула Алиса, и руки замахали чаще. Она погладила Младенца по голове, и он почему-то замурлыкал; волосы у Младенца оказались удивительно пушистыми.

Чем выше поднималась Алиса, тем ярче сверкали короны на головах королей и королев. Наконец, блеск бесконечного множества корон стал нестерпимым, Алиса зажмурилась и... проснулась!

Она сидела на диване, свернувшись калачиком. Прямо в лицо ей светили из окна лучи заходящего солнца, на коленях лежал раскрытый учебник математики, а пальцы Алисы погрузились в тёплую шерсть Дины — кошка спала рядом с Алисой и тихонько мурлыкала.

— Ты даже не представляешь, какой мне приснился удивительный сон! — сказала Алиса.

Кошка приоткрыла глаза и посмотрела на Алису таким взглядом, что Алиса поняла: Дина всё знает, но просто не считает нужным об этом рассказывать...

Алиса перевернула несколько страниц учебника, и ей показалось, будто числа и фигуры подмигивают ей, как старые знакомые.

— Я должна рассказать свой сон мистеру Доджсону, — подумала Алиса. — В моём сне была и сказка и математика — и в том и в другом мистер Доджсон разбирается лучше всех!

Любой нормальный человек скажет, что не может, потому что часть меньше целого!

Однако Галилей не был нормальным человеком — он был великим учёным. Поэтому он сомневался во всём и подвергал проверке всё, что мог проверить. Возьмём, сказал он, бесконечный ряд натуральных чисел:

В этом ряду некоторые числа являются квадратами, например, 1, 4, 9, 16. Однако чем дальше движемся мы вдоль натурального ряда, тем реже будут встречаться квадраты: среди первых ста натуральных чисел мы найдём десять квадратов (одна десятая часть от ста), а среди первого миллиона натуральных чисел — только тысячу квадратов (это всего одна тысячная часть от миллиона). В путешествии по натуральному ряду нам встретятся участки любой длины, состоящие только из чисел — «неквадратов»: например, после триллиона идут подряд два миллиона чисел, каждое из которых не является квадратом! Зато стоящие рядом квадраты не попадутся нам никогда!

А теперь, зная всё это, скажите — чего больше: всех натуральных чисел или только квадратов?

Ответ, казалось бы, не вызывает сомнений: ведь числа-квадраты — это только малая часть всех чисел! Однако давайте, следуя Галилею, напишем под каждым натуральным числом его квадрат:

Этот ряд мы можем продолжать сколько угодно: ведь у любого натурального числа есть квадрат. Но это как раз и означает, что квадратов столько же, сколько всех натуральных чисел! А значит, часть действительно равна целому!

Таково поразительное свойство бесконечных множеств, открытое Галилеем. Этим свойством обладают, конечно, только бесконечные множества! Потому оно и кажется нам таким необычным — ведь в жизни мы не встречаемся и никогда не встретимся с бесконечными множествами.

Бесконечность — это гениальная выдумка математиков, и единственное требование к этой выдумке состоит в том, чтобы в ней не было «обмана», то есть противоречий. Однако для того, чтобы выполнить это требование, приходится отказаться от многого из того, к чему мы привыкли, имея дело с конечными множествами. И прежде всего — от аксиомы, что часть всегда меньше целого!

Чтобы вам легче было отказываться от «конечных» привычек, приведём ещё один пример. Оставим в ряду натуральных чисел только каждое десятое число:

10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 110, ...

Заметьте, что «девять десятых» всех натуральных чисел мы при этом отбросили! А теперь сделаем «фокус» — зачеркнём у каждого из оставленных чисел нуль в конце. Что мы получим? Конечно, снова весь натуральный ряд — он, оказывается, ничуть не уменьшился от того, что мы оставили только «одну десятую» его часть!

Если хотите, можете оставить всего лишь «одну миллионную» часть натурального ряда, то есть числа:

1 000 000, 2 000 000, 3 000 000, 4 000 000, ...

Зачеркните теперь у всех чисел последние шесть нулей, и... «одна миллионная» часть тут же превратится в «целый» натуральный ряд! Он поистине «возрождается из пепла», как сказочная птица Феникс. Теперь вам, наверное, стали понятней и те правила грандиозного «шахматного бала», который наблюдали Алиса с Чеширским Котом.

Теорию бесконечных множеств создали в XIX веке чешский математик Больцано и немецкий математик Кантор. Они догадались, что сравнивать бесконечные множества можно единственным способом: составляя из элементов этих множеств пары (помните танцующие пары на «шахматном балу»?). И если можно составить пары так, что любому элементу первого множества найдется «компаньон» среди элементов второго множества, а любому элементу второго — «компаньон» среди элементов первого множества, причём каждый элемент входит в одну пару, то следует считать, что оба множества содержат элементов поровну.