Инесса Раскина - Логика для всех. От пиратов до мудрецов

Вначале с точки зрения первого логика возможны варианты x = y + z и x = |y − z|. Поэтому первый логик сможет догадаться, какое у него число, только если y = z. Значит, после первого высказывания все знают, что y ≠ z.

Теперь с точки зрения второго логика возможны такие варианты: y = x + z и y = |x − z|, причем y ≠ z. Поэтому второй логик сможет догадаться, какое у него число, только если x = z или x = 2z. Значит, после второго высказывания все знают, что x ≠ z и x ≠ 2z.

Тогда с точки зрения третьего логика возможны такие варианты: z = x + y и z = |x − y|, причем z не равно ни одному из чисел y, x или x/2. Поэтому третий логик сможет догадаться, какое у него число, только если x  {y, 2y, y/2, 2y/3}. Значит, после третьего высказывания все знают, что x  {y, 2y, y/2, 2y/3}.

Теперь с точки зрения первого логика возможны варианты x = y + z и x = |y − z|. При этом известно, что x /2 {y, 2y, y/2, 2y/3, z, 2z} и y ≠ z. Поэтому первый логик сможет догадаться, какое у него число, только если y + z или |y − z| равно одному из чисел y, 2y, y/2, 2y/3, z, 2z и y ≠ z. Это возможно, только если y − z равно одному из чисел y/2, 2y/3, z, 2z, −y, −2y, −y/2, −2y/3. В этих случаях x = y + z и равно 3y/2, 4y/3, 3z, 4z, 3y, 4y, 5y/2, 8y/3 соответственно. Поскольку 50 не делится ни на 3, ни на 4, то имеет место случай x = 5y/2. Тогда y = 20, z = 30.

Ответ. У второго 20, у третьего 30.

Заметная часть вошедших в этот выпуск задач являются по сути техническими упражнениями, придуманными специально для данного занятия. Другие, напротив, так давно вошли в математический фольклор, что их авторство установить затруднительно. Ниже указаны известные нам авторы задач, позаимствованных из классической литературы и математических соревнований.

М. Гарднер: 7.12.

А. В. Грибалко: 7.13.

С. В. Грибок: Д54.

К. А. Кноп: 10.12, Д52, Д55.

А. Н. Печковский: 7.14.

И. В. Раскина: 4.18, 9.11.

A. И. Сгибнев Д43.

Р. М. Смаллиан: 4.13, 4.14, 4.15, 9.5, 9.6.

B. А. Уфнаровский, А. Я. Канель-Белов: Д36.

Б. Р. Френкин: Д35.

А. С. Чеботарев: Д39.

А. В. Шаповалов: 8.10, 9.10, Д44, Д46, Д47, Д56, Д57.

Д. Э. Шноль: 9.3, 9.8, Д43.

1. Р. М. Смаллиан. Как же называется эта книга? – М.: Издательский дом Мещерякова, 2008.

2. Р. М. Смаллиан. Принцесса или тигр? – М.: Мир, 1985.

3. Л. Кэрролл. Логическая игра. – М.: Наука, 1991.

4. М. Милг. Что сказал проводник? // Квант. – 1973. – № 8.– С. 38.

Задача 1. Являются ли высказываниями следующие предложения?

1. Семеро одного не ждут.

2. У кошки четыре ноги.

3. 1 января 2001 года был вторник.

4. Любое четное число, не меньшее 4, можно представить в виде суммы двух простых чисел

5*. Это утверждение истинно.

Задача 2. Являются ли противоположными высказывания:

1) «Вчера светило солнце» и «Вчера шел дождь»;

2) «Я умею прыгать через лужи» и «Я не умею прыгать через лужи»?

Задача 3. Постройте отрицания к высказываниям, не пользуясь оборотом «Неверно, что…»:

1) Я встретил Вас.

2) Трудно быть богом.

Задача 4*. Британские ученые нашли древнюю рукопись, содержащую всего два утверждения:

1) Оба утверждения этой рукописи ложны.

2) Земля имеет форму чемодана.

Какой вывод можно сделать из этой рукописи?

Задача 5. Объясните, почему данные предложения не являются высказываниями. Можете ли вы сконструировать аналогичные по смыслу высказывания? Как вы думаете, истинны ли они?

1. Семь раз отмерь, один раз отрежь.

2. Что нам стоит дом построить: нарисуем – будем жить.

3. Шел дождь.

Задача 6. Придумайте несколько высказываний и несколько предложений, не являющихся высказываниями.

Задача 7. Являются ли противоположными высказывания:

1) «Нельзя пользоваться калькулятором на уроках математики» и «На уроках математики можно пользоваться калькулятором»;

2) «Андрей выше Мити» и «Митя выше Андрея»?

Задача 8. Постройте отрицания к высказываниям, не пользуясь оборотом «Неверно, что…»:

1) Завтра дальняя дорога выпадает королю.

2) У него деньжонок много.

3) А я денежки люблю.

Задача 9. 1) Директор школы категорически возражает против отмены контроля за прическами. Может ли Степа безнаказанно покрасить волосы в малиновый цвет?

2) Директор школы категорически возражает против отмены решения о запрете контроля за прическами. Может ли Степа безнаказанно покрасить волосы в малиновый цвет?

Задача 10*. Житель острова Крит говорит: «Все критяне лжецы». Истинно или ложно это высказывание? (В этой задаче Крит считается островом рыцарей и лжецов.)

Задача 11. К каждому из высказываний сформулируйте отрицание. Определите, что верно: утверждение или его отрицание.

1) Сумма двух двузначных чисел – двузначное число.

2) Сумма двух четных чисел – четное число.

3) Прямоугольник размером 20 х 15 можно разрезать на прямоугольники размером 3x5.

4) Квадрат размером 2015 х 2015 можно разрезать на прямоугольники размером 20 х 15.

5) В нашей школе найдутся два ученика, имеющие одинаковое число друзей среди учеников нашей школы.

6) * Через отверстие, прорезанное в листке из школьной тетради, человек пролезть не может.

Задача 1. 1) Серый Волк заинтересовался цветом шапочек. Однажды он встретил Красную Шапочку. Помогите Волку сделать правильный вывод. Придумайте несколько вариантов.

2) Выразите другими словами мысль «Все шапочки красные».

Задача 2. Вася говорит, что слова «для всех» и «для каждого» означают одно и то же. Прав ли Вася?

Задача 3. 1) Означают ли одно и то же высказывания: «Некоторые сантехники любят рэп» и «Некоторые любители рэпа – сантехники»?

2) Означают ли одно и то же высказывания: «Все сантехники любят рэп» и «Все любители рэпа – сантехники»?

Задача 4. Лжец сказал: «В этой корзине все грибы съедобны». Значит ли это, что все грибы в этой корзине ядовиты? (Для простоты забудем об условно съедобных грибах и будем каждый гриб считать либо съедобным, либо ядовитым.)

Задача 5. Рассмотрим два утверждения. Сколько из них могут быть верными?

1) В этой корзине все грибы съедобные.

2) В этой корзине есть хотя бы один ядовитый гриб.

Задача 6. Лжец сказал: «В этой корзине некоторые грибы ядовитые». Что можно узнать из этого высказывания?

Задача 7. Дано утверждение: «Все малышки хорошо поют». Незнайка сформулировал к нему отрицание: «Все малышки поют отвратительно».

1) Как с помощью закона исключенного третьего убедить Незнайку, что он ошибся?

2) Сформулируйте отрицание правильно.

Задача 8. Постройте отрицания к каждому утверждению, не используя частицу «не». Где сможете, укажите, что верно: утверждение или его отрицание. Где сможете, обоснуйте свое мнение примером или контрпримером.

1) На Земле существует хотя бы одна гора выше 10000 м над уровнем моря.

2) Существует хотя бы один вулкан с высотой более 10000 м относительно своего основания.

3) Любой жук помещается в спичечном коробке.

4) Некоторые горные реки быстрые.

5) Бутерброд всегда падает маслом вниз.

Задача 9. Рассмотрим два утверждения:

А: В этой корзине все грибы съедобные.

Б: В этой корзине есть хотя бы один съедобный гриб.

Могут ли быть верными: 1) оба утверждения; 2) ровно одно из них;

3) ни одного?

Задача 10. Является ли высказывание «В этой корзине некоторые грибы съедобные» отрицанием высказывания «В этой корзине некоторые грибы ядовитые»?

Задача 11. Нарисуйте с помощью кругов Эйлера иллюстрацию к каждому высказыванию. Есть ли среди иллюстраций одинаковые? Одинаков ли смысл соответствующих высказываний?

1. Все хоббиты живут в норах.

2. Все жители нор – хоббиты.

3. Некоторые кошки серые.

4. Некоторые серые существа – кошки.

Задача 12. Когда учительница ругала Дениса за плохой почерк, он сказал: «У всех великих людей был плохой почерк, значит, я великий человек». Прав ли он?

Задача 13. Шерлок Холмс допросил Зайца, Волка и Лису по делу о съедении Колобка. Подозреваемые заявили:

Заяц: «Хотя бы один из нас съел Колобка».

Волк: «Хотя бы один из нас не ел Колобка».

Лиса: «Хотя бы один из нас сказал правду».

Как известно, Колобка съела Лиса. Кто сказал правду, а кто солгал?

Задача 14. Комиссия посетила больницу и составила отчет, в котором не было ни одного правдивого утверждения.

«Все врачи имеют достаточный опыт. Некоторые врачи никогда еще не ставили неправильного диагноза. Никто из врачей не опаздывает на работу. Все пациенты довольны лечением. Ни один из них не жалуется на бытовые условия. Некоторые пациенты выздоравливают за один день».

Напишите, как выглядел бы честный отчет.

Задача 15. В комнате собрались несколько жителей острова рыцарей и лжецов. Трое из них сказали следующее: