Инесса Раскина - Логика для всех. От пиратов до мудрецов

Простую забавную задачу 5.8 мы предлагаем для самостоятельного решения. Но потом она заслуживает общего обсуждения: понимание следствия как правила, применяющегося лишь при определенных условиях, поможет ребятам осознать, почему из ложного утверждения следует что угодно. После этого можно обратить внимание, что и утверждения предыдущих задач можно считать правилами.

Задачу 5.14 имеет смысл подробно обсуждать, если кружковцы уверенно различают прямое и обратное высказывания и интересуются лингвистикой. В других случаях можно ограничиться разбором понятного и смешного примера Шляпы. Можно предложить эту задачу в качестве домашнего задания, посоветовав обсудить ее с родителями и учителями русского и английского языков.

Ехал как-то рыцарь по своим рыцарским делам. И встретил двух мальчиков.

– Дяденька, покатай на лошадке! – попросили дети.

– Ну что ж, – усмехнулся рыцарь, – если кто-то из вас сможет удержать в руках мой меч, то я его покатаю.

Старший, Том, удержал меч, а его младший брат Тим даже приподнять его не смог. Но добрый рыцарь все же покатал обоих.

– Надо было только меня покатать! – возмутился Том. – Ты же рыцарь и не можешь лгать.

– А я сказал чистую правду, – объяснил рыцарь. – Ты удержал меч, я обещал за это покатать на коне и сдержал слово. Но я вовсе не обещал не катать того, кто меч не удержит!

Объяснение рыцаря соответствует законам формальной логики. Высказывания типа «Если А, то Б» можно обозначать «А ⇒ Б» (читается «из А следует Б»). Здесь А – причина, а Б – следствие. Такое высказывание считается ложным лишь в одном случае: А истинно, а Б ложно (мальчик удержал меч, но рыцарь его НЕ покатал). В остальных трех случаях оно истинно:

1) А и Б оба истинны (мальчик удержал меч, рыцарь его покатал);

2) А и Б оба ложны (мальчик НЕ удержал меч, рыцарь его НЕ покатал);

3) А ложно, а Б истинно (мальчик НЕ удержал меч, но рыцарь его покатал).

В нашей истории для Тима имел место последний случай, так что рыцарь сказал правду.

Запишем в общем виде таблицу истинности высказывания «А ⇒ Б», обозначая истинное высказывание буквой И, а ложное – буквой Л.

Проиллюстрируем таблицу с помощью кругов Эйлера (рис. 7). В первый круг (А) позовем всех мальчиков, которые удержали меч. Во второй (Б) – тех, кого рыцарь покатал на лошадке. Область истинности высказывания «А ⇒ Б» (т. е. место для мальчиков, для которых высказывание рыцаря истинно) выделена серым. В ней находятся высказывания и про Тома, и про Тима.

Рис. 7

Про мальчика, не удержавшего меч, рыцарь НИЧЕГО НЕ ОБЕЩАЛ. Другими словами, если А ложно (то есть мальчик не удержал меч), то высказывание А ⇒ Б истинно независимо от истинности Б (то есть от катания на лошадке).

Задача 5.1. Перед перекрестком папа остановил машину. «У нас мотор сломался!» – испуганно закричал Ваня. «С чего ты взял?» – удивился папа. «Но ты же сам говорил, что если мотор сломался, то машина не едет», – объяснил Ваня. Правильно ли он рассуждал?

Решение. Папа ничего не говорил о поведении машины с исправным мотором. Она может как ехать, так и стоять (например, на красный свет или просто в гараже). В обоих случаях:

• мотор исправен и машина едет;

• мотор исправен, машина не едет

утверждение «если мотор сломался, то машина не едет» является истинным.

Ванина ошибка в том, что он поменял местами причину и следствие. При этом вместо верного утверждения «Если мотор сломался, то машина не едет» получилось неверное «Если машина не едет, то мотор сломался».

Высказывания «А ⇒ Б» и «Б ⇒ А» означают не одно и то же (см. рис. 8). Высказывания, в которых причина и следствие поменялись местами, называются обратными друг другу. Высказывание, обратное к истинному, может оказаться как истинным, так и ложным.

Рис. 8

Задача 5.2. Постройте высказывание, обратное данному. Истинно ли данное высказывание? А обратное ему?

1) Если последняя цифра натурального числа – 0, 2, 4, 6 или 8, то оно четное.

2) Если натуральное число делится на 6, то оно четное.

3) Если натуральное число делится на 3, то оно делится и на 5.

Ответ. 1) Обратное утверждение: если натуральное число четное, то его последняя цифра – 0, 2, 4, 6 или 8. Оба высказывания истинны.

2) Данное высказывание истинно. Обратное – если натуральное число четное, то оно делится без остатка на 6 – ложно.

3) Ложно и данное высказывание, и обратное ему: если число делится на 3, то оно делится и на 5.

Задача 5.3. «Вырежем» из составного высказывания задачи 5.2 (п. 2) простые высказывания. А: «Число делится на 6», Б: «Число четное». Как мы убедились, для них высказывание «А ⇒ Б» истинно, а обратное ему высказывание «Б ⇒ А» – ложно. Приведите другие примеры высказываний А и Б с тем же свойством.

Обсуждение. Таких пар высказываний сколько угодно. Их можно условно разделить на два типа. Во-первых, высказывания А и Б могут быть связаны между собой по смыслу так, что из А действительно принято делать вывод Б (но не наоборот). Например:

А: Карл украл у Клары кораллы.

Б: Карл – вор.

Очевидно, что из А следует Б. А вот из того, что Карл – вор, еще не следует, что именно он украл кораллы.

Во-вторых, А может быть заведомо ложным высказыванием, а Б – истинным, при этом смысловая связь между А и Б может вообще отсутствовать. Например,

А: Новый год отмечается 31 июня.

Б: Волга впадает в Каспийское море.

Последний пример звучит непривычно. Но с точки зрения формальной логики высказывание «Если Новый год отмечается 31 июня, то Волга впадает в Каспийское море» истинно так же, как и «Если Карл украл у Клары кораллы, то Карл – вор». Убедиться в этом можно с помощью таблицы истинности.

Задача 5.4. Будем считать истинной пословицу «Кто не работает, тот и не ест».

1) Известно, что Иван ест. Обязательно ли он работает?

2) Известно, что Семен работает. Обязательно ли он ест?

Ответ. 1) Да; 2) нет.

Решение 1. 1) Высказывание «Если Иван не работает, то Иван не ест» истинно, а его вторая часть «Иван не ест» ложна. В соответствии с таблицей истинности такое возможно, только если первая часть «Иван не работает» тоже ложна. Следовательно, Иван работает. 2) Высказывание «Если Семен не работает, то Семен не ест» истинно, а его первая часть «Семен не работает» ложна. В соответствии с таблицей истинности такое возможно независимо от истинности второй части, т. е. от того, ест ли Семен.

Решение 2. На рисунке 9 серым выделена область истинности пословицы. Поэтому в белой части 1 никого нет. Иван может находиться только в части 4 (т. е. он и работает, и ест). Семен может находиться как в части 3 (тогда он работает, но не ест), так и в части 4 (и тогда он работает и ест).

Рис. 9

Решение 3. 1) Предположим, что Иван не работает. Тогда он не работает, но ест, и поэтому служит контрпримером к пословице. Пришли к противоречию с условием, значит, предположение неверно, и Иван работает. Заметим, что аналогичное «решение» для пункта 2 неубедительно, так как если мы не нашли противоречия, это еще не значит, что его нет.

Задача 5.5. Верно ли высказывание «Если человек допрыгнет с Земли до Луны, то он сможет там дышать»?

Ответ. Да.

Обсуждение. На первый взгляд, сказана двойная глупость. Ни допрыгнуть до Луны, ни дышать на ней ни один человек не сможет. То есть и высказывание А (человек может допрыгнуть до Луны), и высказывание Б (человек сможет дышать на Луне) ложны. Но поскольку условие А ложно, высказывание А ⇒ Б истинно независимо от истинности заключения Б. Если вам все же трудно поверить в истинность высказывания «Если человек допрыгнет с Земли до Луны, то он сможет там дышать», то подумайте, кто мог бы его опровергнуть. Только человек, допрыгнувший до Луны!

Комментарий 1 (исторический). В некотором смысле такой человек был. Перед тем, как 20 июля 1969 года сделать шаг с трапа на поверхность Луны, американский астронавт Нил Армстронг сказал: «Это маленький шаг для человека, но огромный прыжок для человечества». Но даже если считать достижение Армстронга прыжком с Земли, наше утверждение он, к счастью, не опроверг и благополучно вернулся домой.

Комментарий 2 (математический). С подобной ситуацией мы уже сталкивались на первом занятии при обсуждении живых тираннозавров, вышивающих крестиком. Аналогия не случайна: высказывания про всех и следствия могут быть переделаны друг в друга.

Задача 5.6. 1) Сформулируйте высказывание, начинающееся со слова «все», имеющее тот же смысл, что высказывание «Если человек допрыгнет с Земли до Луны, то он сможет там дышать».