Яков Перельман - Фокусы и игры

– В ней всего две «нечетные» вершины – концы «палки». Значит, начертить ее одним росчерком пера возможно. Но как?

Рис. 2

Рис. 3

– Нужно начать с одного конца «палки» и кончить другим (рис. 3).

– В детстве я ломал голову над тем, чтобы начертить одним росчерком пера четырехугольник с двумя диагоналями (рис. 4). Мне этого никак не удавалось сделать.

Рис. 4

– И не удивительно: ведь в этой фигуре 4 «нечетные» вершины – углы четырехугольника. Бесполезно даже ломать голову Рис. 4 над этой задачей: она неразрешима.

– А что скажете вы о фигуре, изображенной на рис. 5?

– Ее тоже нельзя начертить одной непрерывной линией, потому что у нее 4 вершины, в каждой из которых сходится по 5 линий, т. е. у нее 4 «нечетных» вершины. Зато легко начертить фигуры, показанные на рис. 6 и 7: у них все вершины «четные» (решение для второй фигуры см. на рис. 8). Теперь перейдем к той задаче, которую решает наша муха: обойти по одному разу все ребра октаэдра, не отрывая пера от бумаги. На каждой вершине этой фигуры сходятся 4 ребра; в ней вовсе нет «нечетных» вершин. Поэтому можно начать путешествовать с любой вершины – вы обязательно возвратитесь в исходную точку. Вот одно из возможных решений (рис. 9).

Рис. 5

Рис. 6

Рис. 7

Рис. 8

Рис. 9

– А знаете, это интересный род головоломок! Дайте мне десяток подобных задач, я подумаю о них на досуге.

– Извольте.

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Задача 5

Задача 6

Задача 7

Задача 8

Задача 9

Задача 10

Из фигур, представленных в задачах 1-10, безусловно, можно начертить непрерывной линией фигуры из задач 2, 4, 5, 7-10. В этих фигурах во всех точках пересечения сходится четное число линий, следовательно, каждая точка может быть начальной, она же будет и конечной. Выполнение фигур показано на рис. 10–18.

Фигура задачи 1 имеет только две «нечетные» точки – те места, где ручка молотка входит в головку: в этих точках сходится по 3 линии. Поэтому фигуру можно начертить непрерывной линией только в том случае, если начать из одной «нечетной» точки и кончить в другой.

То же относится и к фигуре задачи 3: она содержит только две «нечетные» точки, тип. Они и будут начальной и конечной точкой при черчении.

Фигура задачи 6 имеет более двух «нечетных» точек, а потому ее совершенно невозможно начертить одной непрерывной линией.

Рис. 10

Рис. 11

Рис. 12

Рис. 13

Рис. 14

Рис. 15

Рис. 16

Рис. 17

Рис. 18

Отсюда ясно, между прочим, что часто встречающееся в учебниках определение поверхности как «границы тела» несостоятельно; поверхность Мебиуса никакого тела ограничивать не может, а между тем это – поверхность.