Владимир Дьяконов - Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании

Итак, пусть в нашем теоретическом опыте альфа-частицы с энергией 4 МэВ рассеиваются тонкой золотой фольгой. Рассчитать траекторию частицы, приближающейся к ядру атома Au. Прицельное расстояние р равно 2∙10-15 м.

Приступим к решению задачи и зададим вначале систему дифференциальных уравнений для траектории альфа-частицы:

> restart;

> sys:=diff(x(t),t$2)=q1*q2*x(t)/(4*Pi*E0*massa*

(x(t)^2+у(t)^2)^(3/2)), diff(y(t),t$2)=q1*q2*y(t)/(4*Pi*E0*

massa*(x(t)^2+y(t)^2)^(3/2));

Введем исходные числовые данные для вычислений:

> q1:=2*1.6е-19:q2:=79*1.6е-19:massa:=4*1.67е-27:Е0:=8.85е-12:

а:=4е-13:р:=5е-15:Т:=4е6*1.6e-19:V0x:=sqrt(2*T/massa):

Создадим графическую структуру решения нашей системы дифференциальных уравнений для нескольких расчетных отклонений линии движения альфа-частицы от центра ядра атома, находящегося на ее пути:

> with(DEtools):ss:=DEplot({sys},{y(t),x(t)}, t=0..7e-20, [[x(0)=-a, D(x)(0)=V0x, y(0)=p, D(y)(0)=0],

[х(0)=-а, D(х)(0)=V0x, y(0)=р*4, D(y)(0)=0], [х(0)=-а, D(х)(0)=V0x, y(0)=p*8, D(y)(0)=0], [х(0)=-а, D(x)(0)=V0x, y(0)=р*12, D(y)(0)=0], [х(0)=-а, D(х)(0)=V0x, y(0)=p*16, D(y)(0)=0], [х(0)=-а, D(х)(0)=V0x, y(0)=р*20, D(y)(0)=0], [х(0)=-а, D(х)(0)=V0x, y(0)=р*24, D(y)(0)=0], [х(0)=-а, D(х)(0)=V0x, y(0)=р*28, D(y)(0)=0]],

х(t)=-а..a, scene=[x(t),у(t)], stepsize=1e-21, linecolor=black):

> with(plottools): yy:=circle([0,0],2E-14,color=red,thickness=2) : Warning, the name translate has been redefined

Построим центр ядра (кружок со знаком +) и траектории альфа-частиц

> ss2:=PLOT(TEXT([0,-0.3а-14],` +`), FONT(HELVETICA, OBLIQUE,14)):

Осталось построить график траекторий движения альфа-частиц вблизи центра атома

> with(plots):

Warning, the name chargecoords has been redefined

> display([ss,yy,ss2],title=`Рассеивание а-частиц`, axes=framed);

График траекторий движения альфа-частиц вблизи ядра представлен на рис. 11.27. Этот график настолько нагляден, что не требует пояснения.

Рис. 11.27. Траектории движения альфа-частиц вблизи ядра атома

Моделирование движения альфа-частиц вблизи малого и «массивного» ядра атома дают наглядное представление о математической и физической сути данного опыта. Надо лишь помнить, что нельзя нацеливать быстро летящие альфа-частицы прямо в центр ядра. Более сложные, чем приведенные, расчеты показывают, что при этом альфа-частица настолько близко подходит к ядру, что надо учитывать новые факторы, возникающие при близком взаимодействии. Они могут привести к тому, что частица будет поглощена ядром. Но, это уже тема нового разговора, выходящего за рамки данной книги.

Нужно ли применять системы компьютерной математики для анализа, расчета и моделирования электронных схем? Ответ на этот вопрос не так прост, как кажется с первого взгляда С одной стороны к услугам пользователя компьютера сейчас имеется ряд программ схемотехнического моделирования, например Micro-CAP, Electronics Workbench, PSpice, Design Labs и др., автоматически составляющих и решающих большие системы уравнений состояния электронных схем и моделирующих работу бесчисленного множества электронных схем без кропотливого «ручного» составления уравнений.

Но, с другой стороны, анализ схем в таких программах настолько автоматизирован, что начисто теряется его физическая и математическая сущность. Это не так уж страшно, когда моделируются типовые схемы на давно известных, или скорее просто хорошо знакомых, электронных приборах. Но, это явно плохо, когда объектом исследования и моделирования являются новые нетрадиционные схемы на новых или малоизвестных приборах или когда знание физических и математических основ работы таких схем принципиально необходимо. Например, при изучении их в вузах и университетах. В этом случае применение систем компьютерной математики не только возможно, но и принципиально необходимо.

Вернемся к линейным системам и рассмотрим еще один полезный метод расчета электрических цепей — с помощью интеграла Дюамеля. При нем можно рассчитать временную зависимость выходного напряжения u2(t) цепи по известному входному сигналу u1(t) и переходной характеристики цепи a(t). Возьмем в качестве первого классического примера дифференцирующую RC-цепь и вычислим ее реакцию на экспоненциально нарастающий перепад напряжения. Соответствующие расчеты приведены на рис. 11.28.

Рис. 11.28. Расчет реакции дифференцирующей цепи на экспоненциальный перепад напряжения

Рис. 11.28 представляет начало документа, в котором выполнен указанный выше расчет. Представлены заданные зависимости uI(t) и a(t), аналитическое выражение для интеграла Дюамеля (одна из 4 форм) и аналитическое выражение для искомой зависимости u2(t). Пока последнее выражение довольно простое. В конце этого фрагмента документа построены графики зависимостей u1(t), a(t) и u2(t).

Окончание документа, представленное на рис. 11.29, демонстрирует расчет на основе интеграла Дюамеля реакции дифференцирующей RC-цепи на экспоненциально затухающий синусоидальный сигнал u1(t).

Рис. 11.29. Расчет реакции дифференцирующей цепи на синусоидальный сигнал с экспоненциально уменьшающейся амплитудой

Обратите внимание на то, что выражение для u2(t), получаемое с помощью интеграла Дюамеля, стало намного сложнее. Тем не менее, получено как аналитическое выражения для реакции цепи u2(t), так и графики u1(t), a(t) и u2(t). Они показаны внизу графика.

Теперь рассмотрим проектирование аналогового полосового фильтра-усилителя на операционном усилителе (файл af), схема которого приведена на рис. 11.30. Сам операционный усилитель будем считать идеальным.

Рис. 11.30. Схема полосового фильтра на интегральном операционном усилителе

Подготовимся к расчету фильтра:

> restart:

Зададим основные уравнения, описывающие работу усилителя на малом сигнале:

> Vo := (-Z2/Z1)* Vi;

> Z1 := R3 + 1/(I*omega*C3);

> Z2 := R4*1/(I*omega*C4) / (R4 + 1/(I*omega*C4));

Введем круговую частоту

> omega := 2*Pi*f;

Найдем в аналитическом виде коэффициент передачи фильтра и его фазочастотную характеристику как функции от частоты:

> gain := abs(evalc(Vo/Vi));

> phase := evalc(op(2,convert(Vo/Vi,polar)));

Эти выражения, несмотря на простоту схемы усилителя, выглядят довольно сложно, что, однако, ничуть не мешает использовать их для выполнения расчетов. Зададим конкретные значения параметров:

> R3 := 1000:

> R4 := 3000:

> C3 := 0.08*10^(-6):

> С4 := 0.01*10^(-6):

Построим АЧХ фильтра как зависимость коэффициента передачи в децибелах (dB) от частоты f в Гц:

> plot([log10(f), 20*logl0(gain), f=10..50000],

color=black, title=`Коэффициент передачи dB как функция от логарифма частоты f в Гц`);

Эта характеристика представлена на рис. 11.31. Здесь полезно обратить внимание на то, что спад усиления на низких и высоких частотах происходит довольно медленно из-за малого порядка фильтра.

Рис. 11.31. АЧХ фильтра на операционном усилителе

Далее построим фазочастотную характеристику фильтра как зависимость фазы в радианах от частоты f в Гц:

> plot([log10(f), phase, f=10..50000], color=black, title= `Фаза в радианах как функция логарифма частоты`);

Фазочастотная характеристика (ФЧХ) фильтра показана на рис. 11.32.

Рис. 11.32. ФЧХ фильтра на операционном усилителе

На ФЧХ фильтра можно заметить характерный разрыв, связанный с превышением фазовым углом граничного значения π. Такой способ представления фазового сдвига общепринят, поскольку его изменения стремятся вписать в диапазон от -π до π.

Основной недостаток аналоговых активных фильтров, подобных описанному выше, заключается в их малом порядке. Его повышение, за счет применения многих звеньев низкого порядка, ведет к значительному повышению габаритов фильтров и их стоимости. От этого недостатка свободны современные цифровые фильтры, число ячеек которых N даже при однокристальном исполнении может достигать десятков и сотен. Это обеспечивает повышенную частотную селекцию.

Спроектируем фильтр N+1-го порядка класса FIR (Finite Impulse Response или с конечной импульсной характеристикой). Документ, решающий эту задачу, представлен в файле fir.