Энрике Грасиан - Мир математики. т.3. Простые числа. Долгая дорога к бесконечности

* * *

Рамануджан (в центре) и Харди (крайний справа) на групповой фотографии у Тринити-колледжа в Кембридже.

Рамануджан провел в Кембридже пять лет, опубликовав за это время 21 статью. Пять из них были написаны совместно с Харди, который в конце концов заявил: «Я научился у него большему, чем он узнал от меня».

Весной 1917 г. у Рамануджана появились первые симптомы туберкулеза, который в конечном итоге стал причиной его смерти. Летом того же года он лечился в санатории. Большую часть оставшейся жизни он провел в постели. Осенью 1918 г., когда здоровье немного улучшилось, он получил долгожданную стипендию Тринити-колледжа и возобновил научную работу. Это время оказалось одним из самых продуктивных периодов его научной биографии. В начале 1919 г. он вернулся в Индию, где на следующий год умер.

Большинство результатов Рамануджана содержится в письмах, некоторые работы также собраны в трех личных записных книжках, одна из которых была потеряна и нашлась лишь в 1976 г. Еще никто не изучил его труды в полном объеме. Несмотря на то, что он умер в возрасте всего лишь 33 лет, Рамануджан оставил после себя более 4000 теорем.

Работа Рамануджана над простыми числами, в частности, поиск точной формулы для их описания, окутана тайной, хотя в определенной мере можно считать, что она закончилась неудачей. Харди писал по этому поводу: «Хотя Рамануджан добился блестящих успехов во многих областях, в работе над проблемами теории простых чисел он определенно потерпел неудачу. Можно сказать, что это было его единственной большой неудачей. Однако мне кажется, эта неудача в некотором смысле была не менее прекрасна, чем любая из его побед…»

Рамануджан не знал о работах Римана и Гаусса, но сам пытался найти формулу, которая даст ему список всех простых чисел. Этот список нужен был ему для того, чтобы посчитать, сколько существует простых чисел, меньших любого заданного числа. Результаты, которые он посылал Харди, не содержат доказательств его утверждений. Но одна формула почти выдает амбиции Рамануджана:

Абсурдность этого выражения, казалось бы, показывает, что ее автор всего лишь шарлатан, который даже не знает о сходящихся рядах. Но проницательный Харди увидел здесь смысл благодаря другим математическим результатам своего ученика. Ошибка в интерпретации произошла из-за путаницы в системе обозначений. Выяснилось, что Рамануджан записал здесь не что иное, как один из нулей дзета-функции Римана, в частности, решение для х = — 1. Этот метод, по словам Рамануджана, позволил ему получить формулу для вычисления количества простых чисел от одного до ста миллионов с удивительно небольшой погрешностью. Однако впоследствии Литлвуд показал, что Рамануджан ошибся. Тем не менее, поиски магической формулы привели его, как и многих других математиков, в чрезвычайно важную область, имеющую прямое отношение к сходящимся рядам.

* * *

УПОРЯДОЧЕННАЯ ЖИЗНЬ

Образ жизни Рамануджана, истинного брахмана, представителя духовной касты индуистского общества, был основан на самоконтроле, умеренности и исключении из рациона питания всех животных продуктов, а также многих продуктов растительного происхождения, таких как чеснок и лук. Любопытно отметить, что на протяжении всей жизни Рамануджан записывал большинство своих математических результатов, многие из которых он не мог точно доказать, сразу после пробуждения по утрам.

* * *

Американский математик Брюс Берндт из Иллинойсского университета, посвятивший много времени изучению работ Рамануджана, обнаружил, что тот сначала составил таблицу, отличную от посланной Харди. В оригинальной таблице простые числа для первых ста миллионов натуральных чисел описаны более подробно.

Берндт говорит, что эти результаты более точны, чем при вычислениях по формуле Римана. Это позволяло предположить, что, возможно, Рамануджан действительно открыл формулу, которую почему-то держал в секрете. Возможно, личные записные книжки Рамануджана содержат еще более удивительные результаты, которые еще предстоит открыть.

Это правда, что гениальный ум Рамануджана породил математические результаты, которые иногда оказывались неверными. Но по большей части они правильные и обладают исключительной математической красотой. Во всяком случае, его работами в настоящее время занимаются тысячи математиков по всему миру, и его результаты применяются даже в областях, далеких от чистой математики, например, в химии полимеров, компьютерном дизайне и исследованиях рака.

Страница одной из записных книжек Рамануджана.

Поиск простых чисел — по крайней мере больших простых чисел — довольно сложная задача, потому что еще никому не удалось найти формулу или алгоритм, позволяющий генерировать любые простые числа. Но может возникнуть логичный вопрос: «Для чего нужно генерировать простые числа?»

На этот вопрос можно дать два ответа. Первый из них имеет теоретическое значение. Попытки генерации простых чисел ведут к появлению новых интересных инструментов для расчетов, особенно для компьютерных вычислений. Кроме того, наличие большого списка простых чисел позволяет проверять теоремы, которые еще не доказаны. Если кто-то выдвигает гипотезу относительно простых чисел, но оказывается, что одно из миллионов чисел нарушает ее, то вопрос снимается. Это стимулирует поиск простых чисел различных видов: простых чисел Мерсенна, чисел-близнецов и так далее. Иногда такой поиск превращается в соревнование, в котором устанавливаются мировые рекорды и за победы присуждаются большие призы.

Но есть и другая, более практическая причина, связанная с так называемым шифрованием. Электронная почта, банковские операции, кредитные карты и мобильная телефонная связь — все это защищено секретными кодами, непосредственно основанными на свойствах простых чисел.

В 1975 г. Уитфилду Диффи и Мартину Хеллману, в то время работавшим в Стэнфордском университете, пришла в голову идея асимметричного шифрования, или «шифрования с открытым ключом». Эта система основана на специальных математических функциях, называемых «односторонними функциями с потайным входом», которые позволяют зашифровывать текст, но делают расшифровку практически невозможной без знания используемого кода. Идея состоит в том, что каждый пользователь имеет пару ключей: открытый и закрытый. Если мы хотим отправить кому-то сообщение, мы зашифровываем это сообщение с помощью открытого ключа — то есть ключа, известного всем. Но только человек, имеющий соответствующий закрытый ключ, может расшифровать это сообщение. Одним из преимуществ такого метода является то, что закрытый ключ никогда не передается и поэтому его не нужно постоянно менять в целях безопасности. Идея метода не совсем проста, но мы можем пояснить ее с помощью аналогии. Представьте себе большой магазин, где продаются сотни тысяч банок с краской разного цвета. Возьмем две любые банки и смешаем краску в разных количествах. Пока все просто. Теперь, если мы покажем кому-нибудь получившийся цвет и попросим «расшифровать», какое количество каких красок использовалось изначально, на такой вопрос будет очень трудно ответить.

Именно так работают односторонние функции с потайным входом, которые легко применить в одном направлении, но практически невозможно — в обратном.

Схема, иллюстрирующая алгоритм Диффи — Хеллмана. Имеются два абонента, Алиса и Боб, желающие общаться втайне. Они открыто договариваются о двух числах (простое число р и другое число g, имеющие определенные свойства). И Алиса, и Боб выполняют некоторые операции с этими числами и с еще одним целым числом, которое они держат в секрете, а затем открыто посылают друг другу результаты. Теперь и Алиса, и Боб выполняют с полученным результатом еще одну операцию и получают один и тот же ответ, который будет для них секретным кодом. Потенциальный шпион, перехвативший результаты, посланные Алисой и Бобом, не может сгенерировать секретный код, имея лишь эту информацию.

Предположим теперь, что вместо банок с краской в магазине находятся простые числа. Возьмем любые два, например, 7 и 13, и перемножим их (аналогично смешиванию краски). В результате мы получим 7 х 13 = 91.

Тогда возникает вопрос: можно ли узнать, какие простые числа были перемножены, чтобы в результате получилось 91? Для ответа на него надо взять список простых чисел и проделать несколько проверок. Казалось бы, простое решение, как и в случае определения цвета красок, если в магазине было всего около десятка основных цветов.