Открытие без границ. Бесконечность в математике - Грасиан Энрике

Кронекер как-то сказал: «Бог создал первые десять чисел, всё остальное создал человек», выразив тем самым, сколь велика заслуга математики. По его мнению, всё в математике должно было строиться из известных, чётко определённых элементов и за конечное число этапов. Иными словами, Кронекер не хотел ничего слышать об актуальной бесконечности. Как-то раз он заявил, что от бесконечности следует отказаться как от

Кронекер был явным последователем финитизма, а также операционизма, в котором не признаются никакие рассуждения, не подкреплённые чётко определёнными математическими операциями. Он заявил, очевидно, имея в виду труды Кантора, что математике необходим контроль со стороны признанных учёных, так как

Следует учитывать, что Кронекер был одним из редакторов журнала Крелле, поэтому неудивительно, что в 1877 году он отклонил все рукописи, переданные Кантором для публикации в этом журнале. Расхождение во взглядах переросло в личную неприязнь, и Кронекер публично назвал Кантора ренегатом, шарлатаном и совратителем учащейся молодёжи.

Не будем забывать, что Кантор был лучшим учеником Кронекера, естественно, что он очень болезненно переживал подобное отношение учителя и получил глубокую психологическую травму, от которой ему так и не удалось оправиться.

Юлиус Вильгельм Рихард Дедекинд (1831–1916), который родился в Брауншвейге и был четвёртым ребёнком в зажиточной семье, большую часть жизни посвятил математическим исследованиям. Он был алгебраистом и стремился сформировать фундаментальную основу анализа, для чего в качестве базы выбрал множества и отображения множеств.

Вейерштрасс, Кантор и Дедекинд независимо друг от друга работали над определением вещественных чисел. Работы Кантора и Дедекинда стали классическими и вошли в учебники. Труды Кантора, в основе которых лежала теория множеств, были наиболее близки Дедекинду, особенно потому, что оба они работали над большой темой непрерывности пространства, носившей больше философский, нежели математический характер. И Кантор, и Дедекинд утверждали, что доказать непрерывность пространства абсолютно невозможно. Максимум, что можно сделать, — это принять гипотезу о непрерывности пространства в качестве постулата.

На этой памятной марке, выпущенной в честь Дедекинда, справа изображена формула разложения числа на простые множители.

В 1872 году, находясь на отдыхе в Швейцарии, Кантор познакомился с Дедекиндом — одним из немногих математиков того времени, если не сказать единственным, с которым он поддерживал близкие отношения, основанные на взаимном доверии и уважении. Рождение теории множеств можно чётко проследить, если ознакомиться с их перепиской в 1874–1884 годах. Любопытно, что в большинстве наиболее важных статей Дедекинд почти не использует понятие «множество»: он считал, что Кантор уже совершил наиболее важные открытия в этой области, поэтому больше внимания уделял понятию отображения.

В 1881 году на кафедре математики Университета Галле освободилась должность преподавателя, и Кантор предложил кандидатуру Дедекинда, написав в Министерство образования письмо, в котором подчеркнул положительные качества своего друга. Однако, несмотря на настойчивые просьбы Кантора, Дедекинд отказался от этой должности — у него совершенно отсутствовали какие-либо амбиции и желание занять высокое место в научных кругах. В течение тридцати лет Дедекинд преподавал в Карловском коллегиуме, где работали его отец и дед. К тому же чиновники министерства отдали должность преподавателю, рекомендованному Кронекером.

В результате отношения между Кантором и Дедекиндом остыли, и переписка между ними прекратилась на семнадцать лет. Лишь в 1899 году по инициативе Кантора учёные вновь начали общаться.

В то самое время, когда отношения между Кантором и Дедекиндом прекратились, на горизонте появилась новая личность, которой суждено было получить признание в научном мире и поддержать Кантора в один из тяжелейших периодов его жизни.

Этим человеком был Магнус Гёста Миттаг-Леффлёр (1846–1927) — математик шведского происхождения, известный не собственными открытиями, а прежде всего благодаря распространению трудов других великих математиков. Брак с богатой наследницей позволил ему найти необходимые средства для учреждения в 1882 году нового научного журнала Acta Mathematica, который завоевал значительный авторитет в международном научном сообществе. Кантор и Миттаг-Леффлёр быстро нашли общий язык, и последний перевёл большинство статей, переданных ему Кантором.

Магнус Гёста Миттаг-Леффлёр на фотографии 1916 года.

Переводом трудов Кантора на французский и редактированием занялась группа математиков во главе с Шарлем Эрмитом, который, как мы отмечали в главе 5, разработал доказательство трансцендентности числа e, впоследствии улучшенное самим Кантором. Публикации в Acta Mathematica сыграли большую роль в поддержке новой теории трансфинитных чисел, однако инцидент, связанный с публикацией «Основ теории отношений порядка», свёл все усилия Кантора на нет. Кантор в то время безуспешно пытался найти доказательство континуум-гипотезы, но ему не удавалось достичь сколько-нибудь значимых результатов. В упомянутой выше работе был дан новый толчок теории множеств, что, как считал Кантор, должно было упростить доказательство. Однако Миттаг-Леффлёр отложил публикацию статьи более чем на год, ссылаясь на то, что в ней не только отсутствовало доказательство континуум-гипотезы, но и она непременно вызвала бы негативную реакцию научного сообщества: в работе использовалось понятие трансфинитных чисел и новый математический язык, а также содержались далёкие от математики философские рассуждения. Кантор счёл этот инцидент, по его словам, «настоящей катастрофой» и для математики, и для него лично. Он усмотрел в этом влияние «чёрной руки» — так учёный называл группу берлинских математиков (в их числе были Куммер, Вейерштрасс и Кронекер), отвергавших его теории. Как мы уже отмечали, с Кронекером Кантор вёл крайне ожесточённую полемику.

В марте 1874 года, во время одной из частых поездок в Берлин, Кантор познакомился с Валли Гугтман, подругой своей сестры Софи, и в августе того же года женился на ней. Валли была увлекающейся натурой, она любила музыку, и Кантор всегда относился к ней с величайшей нежностью. Тем не менее, осознавая свои слабости, он ещё до свадьбы предупредил невесту, что его

Как бы то ни было, этот брак вполне можно назвать счастливым. У Кантора родилось четыре сына и две дочери. Унаследовав достаточную сумму, чтобы не беспокоиться о своём финансовом положении, учёный решил построить дом в Галле. На тот момент он оставил должность в Университете Галле и отказался от попыток получить работу в Берлинском университете.

К 1885 году Кантор устал от безрезультатных попыток доказать континуум-гипотезу. Он был глубоко разочарован тем, что представители математического сообщества избегали его, и отодвинул занятия математикой на второй план. В 1889 году учёный посвятил себя попыткам доказать, что произведения Шекспира (1564–1616) в действительности написаны Фрэнсисом Бэконом (1561–1626), противоречивым английским философом и политиком, который попытался претворить в жизнь важную научную реформу. В 1898 году Кантор даже прочёл курс лекций о жизни и творчестве Фрэнсиса Бэкона — и в том же году был исключён из Шекспировского общества. Исследователь собрал объёмную библиотеку английских авторов XVI–XVII веков, вложив в неё часть своего состояния, а также посвятил несколько лет философии и написал несколько философских работ. Интересовала его главным образом метафизика, особенно темы, имеющие отношение к актуальной бесконечности.