Жемчужина Эйлера - Дэвид С. Ричесон

— Галилео Галилей²

Все они прошли мимо нее. Древние греки — такие светила математики, как Пифагор, Теэтет, Платон, Евклид и Архимед, одержимые многогранниками, — прошли мимо. Иоганн Кеплер, великий астроном, так восторгавшийся красотой многогранников, что положил их в основу ранней модели Солнечной системы, прошел мимо. В своем исследовании многогранников математик и философ Рене Декарт находился всего в нескольких логических шагах от ее открытия, но тоже прошел мимо. Все эти и многие другие математики не заметили связи такой простой, что ее можно объяснить любому школьнику, и вместе с тем настолько фундаментальной, что она вошла в плоть и кровь современной математики.

А великий швейцарский математик Леонард Эйлер (1707–1783) мимо не прошел. 14 ноября 1750 г. в письме к своему другу Христиану Гольдбаху (1690–1764), занимавшемуся теорией чисел, Эйлер писал: «Меня поражает, что такое общее свойство стереометрии (геометрии пространственных тел) до сих пор, насколько мне известно, никем не было замечено»³. В этом письме Эйлер описал свое наблюдение, а годом позже представил доказательство. Наблюдение настолько фундаментальное и важное, что теперь оно называется формулой Эйлера для многогранников.

Многогранником называется трехмерный объект наподобие изображенных на рис. I.1. Он состоит из многоугольных граней. Каждая пара соседних граней имеет общий прямолинейный отрезок, называемый ребром, а соседние ребра пересекаются в угловой точке, называемой вершиной. Эйлер заметил, что количества вершин, ребер и граней (V, E, F) всегда связаны простым и элегантным арифметическим соотношением:

V — E + F = 2.

Рис. I.1. Куб и футбольный мяч (усеченный икосаэдр) удовлетворяют формуле Эйлера

Самым известным многогранником, наверное, является куб. Нетрудно посчитать, что у него шесть граней: по одному квадрату сверху и снизу и четыре по бокам. Границы этих квадратов — ребра куба. Всего их насчитывается двенадцать: по четыре сверху и снизу и четыре вертикальных по бокам. Четыре верхних и четыре нижних угла дают нам восемь вершин. Таким образом, для куба имеем V = 8, E = 12, F = 6 и, конечно же,

8 — 12 + 6 = 2,

как и должно быть. Для многогранника на рис. I.1, напоминающего футбольный мяч, подсчет сложнее, но можно убедиться, что он имеет 32 грани (12 пятиугольных и 20 шестиугольных), 90 ребер и 60 вершин. И снова

60 — 90 + 32 = 2.

Но открытие Эйлера — только начало истории. Помимо работы по многогранникам, Эйлер создал новую дисциплину analysis situs, которая сегодня известна под названием топологии. Геометрия изучает жесткие объекты. Геометров интересует измерение таких величин, как площади, углы, объемы и длины. Топология, получившая популярное прозвище «резиновая геометрия», изучает эластичные фигуры. Объект внимания тополога не обязан быть жесткой геометрической фигурой. Топологов интересует связность, наличие дырок и скрученность. Когда клоун скручивает из надувного шара собаку, его топология не меняется, но геометрические тела совершенно различны. Но когда ребенок протыкает воздушный шарик карандашом, он оставляет в нем зияющую дыру, в результате чего топология изменяется. На рис. I.2 мы видим три примера топологических поверхностей: сфера, тор в виде бублика и перекрученная лента Мёбиуса.

Исследователи, занимавшиеся новой наукой, топологией, были очарованы формулой Эйлера и попытались применить ее к топологическим поверхностям. Возник очевидный вопрос: где расположены вершины, ребра и грани на топологической поверхности? Топологи отбросили жесткие ограничения, налагаемые геометрами, и допустили искривленные грани и ребра. На рис. I.3 мы видим разбиение сферы на «прямоугольные» и «треугольные» области. Это разбиение образовано в результате проведения 12 меридианов, сходящихся в полюсах, и 7 параллелей. На этом изображении глобуса имеется 72 криволинейные прямоугольные грани и 24 криволинейные треугольные грани (последние расположены вблизи полюсов) — всего 96 граней. Имеется также 180 ребер и 86 вершин. Стало быть, как и в случае многогранников,

V — E + F = 86 — 180 + 96 = 2.

Рис. I.2. Топологические поверхности: сфера, тор и лента Мёбиуса

Рис. I.3. Два разбиения сферы

Мяч, которым играли на Всемирном чемпионате по футболу в 2006 году, состоял из шести четырехсторонних кусков в форме песочных часов и восьми бесформенных шестиугольных кусков (рис. I.3). Он также удовлетворяет формуле Эйлера (V = 24, E = 36, F = 14).

Возникает искушение сделать вывод, что формула Эйлера справедлива для любой топологической поверхности. Однако если разбить тор на прямоугольные грани, как на рис. I.4, то получится неожиданный результат. Разбиение образовано проведением двух окружностей вокруг центрального отверстия тора и четырех окружностей на самой кольцевой трубке. Оно состоит из 8 четырехсторонних граней, 16 ребер и 8 вершин. При этом

V — E + F = 8 — 16 + 8 = 0,

а не 2, как предсказывает формула Эйлера.

Рис. I.4. Разбиение тора

И если бы мы построили другое разбиение тора, то обнаружили бы, что эта знакопеременная сумма по-прежнему равна нулю. Поэтому для тора мы получаем новую формулу Эйлера:

V — E + F = 0.

Можно доказать, что у любой топологической поверхности есть «своя» формула Эйлера. Не важно, на сколько граней разбить поверхность сферы — на 6 или на 1600, все равно формула Эйлера всегда будет давать 2. И точно так же, если применить формулу Эйлера к любому разбиению тора, получится 0. Это число может служить характеристикой поверхности, подобно тому, как количество колес характеризует транспортные средства. У любой легковой машины четыре колеса, у тягача с прицепом восемнадцать, а у мотоцикла два колеса. Если у транспортного средства не четыре колеса, то это не легковая машина, а если у него не два колеса, то это не мотоцикл. Аналогично, если V — E + F не равно 0, то поверхность топологически не эквивалентна тору.

Величина V — E + F внутренне связана с формой поверхности. Топологи говорят, что она является инвариантом поверхности. Из-за этого свойства инвариантности величина V — E + F называется эйлеровой характеристикой поверхности. Эйлерова характеристика сферы равна 2, а тора — 0.

В данный момент тот факт, что у каждой поверхности своя эйлерова характеристика, может показаться не более чем математическим курьезом, над которым забавно поразмышлять, держа в руках футбольный мяч или глядя на геодезический купол — мол, «круто же». Но, конечно же, это далеко не так. Как мы увидим, эйлерова характеристика — незаменимый инструмент при изучении многогранников, не говоря уже о топологии, геометрии, теории графов и