Альберт Виолант-и-Хольц - Том 9. Загадка Ферма. Трехвековой вызов математике

Затем вычислим десятичное значение этого числа. В левом разряде находится 10, равное десяти шестидесятым частям единицы (то есть 10/60). 2 в следующем разряде означает одну шестидесятую от шестидесятой части единицы (то есть 2/602).

Ив третьем разряде нужно умножить на одну шестидесятую одной шестидесятой от одной шестидесятой части единицы (то есть 11/603). Получим десятичное число:

10/60 + 2/602 + 11/603 = 0,167273…

Исследователи шли тем же путем, когда пытались разгадать значение чисел на табличке Плимптон 322. Сначала они пронумеровали столбцы и тщательно перевели все цифры в арабскую нотацию.

Таблица чисел с исходной таблички в системе по основанию 60, записанных в арабской нотации.

Для всех табличек в этой главе курсивом (в левом верхнем углу) выделены трудночитаемые числа, жирным шрифтом — предположительно ошибочные значения. Ниже приведены эти же числа, переведенные в десятичную систему по методу, описанному выше.

Числа с таблички, переведенные в десятичную систему.

По-видимому, эти числа не имеют особого смысла. Это может быть просто набор цифр. Заметим, однако, что в четвертом столбце, то есть в первом столбце справа, содержатся последовательные числа от 1 до 15, как будто бы что-то было пронумеровано. С другой стороны, можно сказать, что в первом столбце содержится последовательность шестидесятеричных чисел от 0 до 1, строго упорядоченных по убыванию. Некоторые из них более сложные и содержат больше цифр, например, число в десятой строке. Другие намного проще, как, например, число в 11-й строке. Но все же кажется невероятным, что между этими числами существует какая-то связь.

И здесь нужно обратить внимание на второй и третий столбцы, так как числа в третьем столбце всегда больше чисел из второго, и при делении мы также получим строго упорядоченную по убыванию последовательность чисел между 0 и 1. Таким образом, мы можем добавить в таблицу столбец V. Значения в нем будут рассчитываться по следующей формуле:

столбец V = столбец II / столбец III.

Кроме того, можно легко показать, что если возвести каждое число во втором и третьем столбце в квадрат и вычесть одно из другого, то результат всегда будет квадратом целого числа. Таким образом, мы можем добавить в таблицу столбец VI. Значения в нем будут рассчитываться по следующей формуле:

столбец VI = √(столбец III2 — столбец II2).

Объединив все полученные числа в одну таблицу, мы сможем исправить некоторые ошибки в исходных числах. Например, все указывает на то, что во второй строке есть ошибка, так как число в столбце V не вписывается в убывающую последовательность чисел, а в столбце VI не получается целое число. Единственный способ исправить эти ошибки — записать в третьем столбце 4825 вместо 11 521.

Теперь числа согласуются между собой.

Расширенная таблица с исправленными ошибками (исправленные значения отмечены звездочками).

Но еще удивительнее значения чисел в первом столбце. Потребовалось немало воображения, чтобы догадаться, что при делении чисел из второго столбца на числа из шестого и возведении результата в квадрат получаются числа из первого столбца с точностью до последнего десятичного знака. Поразительно! Теперь мы можем исправить все ошибки в исходных числах.

Но откуда взялись все эти числа? Очевидно, что они записаны на табличке не случайно. В течение десятилетий исследователи предлагали различные объяснения. В первом приближении может показаться, что здесь перечислены пифагоровы тройки (в столбцах II, III и VI), то есть целые числа, удовлетворяющие соотношению из теоремы Пифагора. Числа в столбце II соответствуют длинам меньших катетов, числа в столбце III — длинам гипотенуз, числа в столбце VI — длинам больших катетов. Это подтверждает и надпись на аккадском языке над столбцами II и III. Возможно, столбец VI был записан на утерянной части таблички.

Но кому понадобилось выбрать столь сложные пифагоровы тройки? Существует множество значительно более простых троек, например, (3, 4, 5), (6, 8, 10) или (3, 12, 13). Все они соответствуют сторонам прямоугольных треугольников, но не приводятся в таблице. Хотя эта табличка могла быть не единственной, было бы логично предположить, что среди первых пятнадцати строк появятся некоторые из простейших пифагоровых троек.

Гипотеза Отто Нойгебауэра

Все это заставило математика Отто Нойгебауэра предположить, что числа в столбцах II и III на самом деле являются результатами вычислений над более простыми числами. Примерно в 1931 году Нойгебауэр предположил, что создателю таблички были известны формулы для определения пифагоровых троек на основе этих чисел. Для этого он выбрал два натуральных взаимно простых числа р и q, p > q. Затем он рассчитал следующие значения:

а = р2 — q2 (столбец II),

b = 2pq (столбец VI),

с = р2 + q2 (столбец III).

Нетрудно видеть, что

а2 + Ь2 = (р2 — q2)2 + (2pq)2 = р4 — 2p2q2 + q4 + 4р2q2 = р4 + 2p2q2 + р4 = (р2 + q2)2 = с2.

Следовательно, эти три числа образуют пифагорову тройку.

Руководствуясь этой гипотезой, Нойгебауэр начал дополнять табличку новыми столбцами, которые предположительно находились в левой, утерянной ее части.

Выбор значений p и q согласно гипотезе Отто Нойгебауэра (исправленные значения отмечены звездочками).

Казалось бы, все сходится. Кроме одиннадцатой строчки! Почему все числа в таблице не могут подчиняться общей закономерности? Почему закономерность нарушена именно в этой строке? Потому что она обладает крайне любопытным свойством. Числа, образующие пифагорову тройку (45, 60, 75) имеют общие делители: все они делятся на 15. Выполнив деление, получим тройку (3, 4, 5), которой соответствуют значения р = 2, q = 1.

Но это не помогло найти разгадку. Множество вопросов оставалось без ответа. Почему были выбраны именно эти значения р и q, а не какие-то другие? И что означают числа из первого столбца?

Объяснение Роберта Крейтона Бака

Математик Роберт Крейтон Бак в 1980 году объяснил значения чисел на основе тригонометрии. Для этого он изобразил все прямоугольные треугольники, описанные в табличке: за длины меньших катетов он принял числа из столбца II, за длины больших катетов — числа из предполагаемого столбца VI, за длины гипотенуз — числа из столбца III. Затем он вычислил угол между большим катетом и гипотенузой и заметил удивительный факт: в первом треугольнике длина катетов была почти одинаковой, поэтому угол между большим катетом и гипотенузой был чуть меньше 45°. Затем углы строго уменьшались с каждым шагом приблизительно на один градус.

В столбцах II, III и VI записаны длины сторон прямоугольных треугольников, в столбце I — результат вышеприведенной операции.

Величины углов в пятнадцати прямоугольных треугольниках, длины сторон которых записаны в столбцах II, III и VI.

С учетом всего этого Бак осмелился предположить, что в столбце I находятся квадраты тангенсов полученных углов. Следовательно, табличка Плимптон 322 доказывает, что тригонометрические функции были известны уже тогда. Однако эту гипотезу сложно подтвердить, так как нам неизвестны другие документы той эпохи, где для решения задач использовались бы тригонометрические функции. Часто совсем непросто определить уровень знаний разных культур на основе известных нам источников! Одни исследователи всегда будут склонны к преувеличению, другие — к преуменьшению.

Однако существование табличек — неоспоримый факт. Все значения р и q разлагаются на произведения простых делителей: 2, 3 и 5. Следовательно, значения, обратные р и q, при записи в шестидесятеричной системе счисления всегда будут иметь конечное число знаков. Может, по этой причине составитель таблички выбрал именно эти р и q, а не какие-то другие?