Энрике Грасиан - Мир математики. т.3. Простые числа. Долгая дорога к бесконечности

Рассмотрим произведение первых четырех натуральных чисел:

1 х 2 х 3 х 4.

Мы можем быть уверены, что число 1 х 2 х З х 4 + 2 не является простым, так как оно делится на 2. Это можно сразу проверить: 1 х 2 х З х 4 + 2 = 26, и при делении на 2 мы получаем 13.

Но нам не нужно выполнять все вычисления, чтобы проверить делимость на два, так как оба слагаемых содержат множитель 2.

По той же причине очевидно, что число 1 х 2 х З х 4 + 3 = 27 не является простым, так как делится на 3; число 1 х 2 х З х 4 + 4 = 28 не является простым, так как делится на 4.

Таким образом, мы получили три последовательных числа, 26, 27 и 28, которые не являются простыми числами. Чтобы получить четыре последовательных составных числа, надо выполнить следующие действия:

1 x 2 x 3 x 4 x 5 + 2 = 122

1 x 2 x 3 x 4 x 5 + 3 = 123

1 x 2 x 3 x 4 x 5 + 4 = 124

1 x 2 x 3 x 4 x 5 + 5 = 125

Для краткой записи произведения последовательных чисел используется восклицательный знак:

1 x 2 x 3 x 4 = 4!

1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 5!

В математике такое выражение называется «факториал». Например, факториал числа 6 равен

6! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 = 720.

Выражения для четырех последовательных составных чисел удобнее записать следующим образом:

5! + 2

5! + 3

5! + 4

5! + 5

Таким образом можно составить любой ряд последовательных чисел, не содержащий простых чисел. Например, если мы хотим получить сто последовательных составных чисел, достаточно написать:

101! + 2,

101! + 3,

101! + 4,

и так далее до 101! + 101.

Это означает, что в ряду натуральных чисел существуют промежутки любой длины, в которых нет простых чисел. Таким же образом мы могли бы построить ряд из пяти триллионов последовательных чисел, в котором простое число не появится.

Получается, что простые числа встречаются все реже по мере продвижения по ряду натуральных чисел, и, следовательно, при приближении к бесконечности наступит момент, когда простые числа больше не появятся.

Конечно, этот вывод неверен, так как мы знаем, что по теореме Евклида множество простых чисел бесконечно, и что каким бы длинным ни был ряд составных чисел, в конце концов появится простое число.

* * *

С ПОМОЩЬЮ КАЛЬКУЛЯТОРА

Хорошо бы использовать мощность компьютеров и написать программу, которая находила бы длинные ряды чисел, не содержащие простых чисел. В самом деле, алгоритм довольно прост, но нужно иметь в виду, что, работая с выражениями, содержащими факториалы, можно довольно быстро исчерпать память калькулятора. Факториалы будут расти с головокружительной быстротой. Это можно проверить на любом карманном калькуляторе, используя клавишу факториала (символ«!»). Посчитаем факториалы первых десяти чисел:

1! = 1; 2! = 2; 3! = 6; 4! = 24; 5! = 120; 6! = 720; 7! = 5040; 8! = 40320; 9! = 362880; 10! =3628800.

Большинство калькуляторов не смогут посчитать факториалы чисел, которые больше 70.

* * *

Во время концерта иногда возникает момент, когда публика оживляется и начинает аплодировать в такт музыке. Однако через некоторое время синхронность между ритмом хлопков аудитории и ритмом игры музыкантов нарушается. В случае простых ритмов синхронность может сохраняться довольно долго, но для более сложных ритмов это практически невозможно. Воспользуемся этой аналогией в отношении попыток математиков навязать чувство ритма простым числам, например, «один, два, три… вперед!» Но это не работает: простые числа не встречаются через каждые три составных числа. Попробуем по-другому: «один, два, три, двадцать, сто… вперед!» И это не работает. Мы могли бы повторять подобные попытки до бесконечности. Даже сегодня мы не знаем, подчиняются простые числа некоему чертовски сложному ритму или у них совсем нет чувства ритма.

Как найти закономерность в последовательности чисел? Для этого существует много способов. Важно, чтобы эта закономерность предсказывала появление следующего числа в последовательности. Например, для последовательности

2, 4, 6, 8, …

очевидно, следующее число будет 10.

В случае последовательности

1, 3, 5, 7, …

также легко предсказать, что следующее число — 9. Первый пример представляет собой последовательность четных чисел, а второй — нечетных. Еще один пример:

2, 3, 5, 9, 17….

Здесь каждое число получается умножением предыдущего на 2 и вычитанием из результата единицы.

Выражаясь языком математики, закономерность точно определена, если имеется «общий член» — выражение, позволяющее получить значение каждого члена последовательности, просто подставив значение индекса n. Например, для последовательности четных чисел формула общего члена выглядит так:

аn = 2n.

Если n = 1, то а1 = 2 х 1 = 2.

Если n = 2, то а2  = 2 х 2 = 4.

Если n = 3, то а3 = 2 х 3 = 6.

В случае последовательности нечетных чисел мы имеем следующую формулу общего члена:

аn = 2n + 1.

Эту формулу можно использовать для нахождения значения любого члена. Например, чтобы найти значение члена, занимающего двадцать седьмую позицию в последовательности, мы подставим n = 27 в формулу общего члена:

а27 = 2 х 27 + 1 = 55.

Нахождение формулы общего члена эквивалентно нахождению закономерности в данной последовательности. Возникает вопрос: поскольку мы можем найти любой член последовательности по формуле общего члена, можем ли мы найти эту формулу, имея достаточное количество членов последовательности? Для многих последовательностей ответ на этот вопрос часто является довольно сложной задачей.

Например, предсказать следующий член в последовательности

не так уж легко. И действительно, формула общего члена в данном случае выглядит так:

Чтобы найти первые три члена, подставим соответствующие значения n:

На протяжении многих веков это являлось одной из главных задач математиков в изучении простых чисел, но попытки найти закономерности и правила всегда заканчивались неудачей и разочарованием. Может, этот хаотический набор чисел действительно регулируется случайностью? Но математики, по-видимому, умеют ценить неудачи: пусть их усилия не достигают цели; даже в этом случае, возможно, будут найдены новые пути, разработаны другие математические методы или открыты новые понятия. Часто кажется, что поставленная цель была лишь предлогом для работы над новой задачей. Поэтому простые числа были и продолжают оставаться одним из самых богатых источников парадоксов и гипотез.

Хотя общий закон для простых чисел нельзя установить, можно по крайней мере, изучать поведение некоторых простых чисел, имеющих особые свойства. Представьте себе, будто мы стоим у двери, через которую постоянно проходят группы людей. Мы знаем, что некоторые из них мужчины, а другие — женщины, но мы не можем найти правило, которое предсказывает, кто следующий появится в дверях.

И вот однажды мы замечаем некоторую особенность: оказывается, мужчины появляются в шляпах, а женщины в очках, с детьми и с зонтиками. Тогда мы пытаемся найти правило для каждой из таких групп: например, что мужчины в шляпах появляются в сто раз чаще, чем женщины, или что за каждым мужчиной обязательно следует женщина. Это позволяет нам найти некую закономерность. И может показаться, что такое правило действительно работает, пока мы не проверим его на трех миллионах человек. Тогда мы воскликнем: «О, почти!» И сформулируем результаты нашего исследования словами, которые часто использовались в истории простых чисел: «Похоже на то, что почти всегда…»

* * *

ОДИНОЧЕСТВО ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ

Между двумя соседними простыми числами могут находиться миллионы и миллионы составных чисел или всего лишь одно, ведь это самое короткое расстояние между простыми числами, так как, за исключением чисел 2 и 3, простые числа никогда не следуют друг за другом. Этот факт был использован в виде метафоры в названии книги Паоло Джордано «Одиночество простых чисел». В одной из глав романа эта метафора описана более подробно: «В университете на одной из лекций Маттиа узнал, что среди простых чисел есть особенные. Математики называют их парными, или числами-близнецами. Это пары простых чисел, которые стоят рядом, то есть почти рядом, потому что между ними всегда оказывается другое число, которое мешает им по-настоящему соприкоснуться. Это, например, числа 11 и 13, 17 и 19, 41 и 43. Маттиа думал, что они с Аличе — вот такие простые числа-близнецы, одинокие и потерянные, вместе, но недостаточно близкие, чтобы по-настоящему соприкоснуться друг с другом».

* * *

Действительно, некоторые группы простых чисел удалось описать (в общей сложности несколько десятков), и это позволило добиться определенного прогресса.