Альберт Рывкин - Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Построение теней осуществляется с помощью тех же самых приемов. При этом нужно в качестве вспомогательной точки использовать проекцию источника света на плоскость, на которую падает тень.

Построим, например, тень, отбрасываемую вертикальной спичкой AB на плоскость P (концом В спичка упирается в плоскость), если источник света расположен в точке Q, а точка Q1 есть проекция точки Q на плоскость P (рис. 4.4, а). Проведем две прямые AQ и BQ1, пересекающиеся в точке А1. Отрезок А1В и будет тенью спички AB.

Если спичка AB расположена между плоскостью P и источником света Q произвольным образом, то построение тени показано на рис. 4.4, б. Предполагается, что проекции точек А, В и Q (это точки С, D и Q1 соответственно) на плоскость P заданы или могут быть найдены. Вместо того чтобы строить тень спички AB, мы строим тени А1С и В1D двух вертикальных спичек AC и ВD, а затем, соединив точки А1 и В1, получаем нужную тень. Проекция спички AB на плоскость P фактически задана. Это отрезок CD. Тенью, отбрасываемой этой спичкой на плоскость P, если источник света расположен в точке Q, будет отрезок А1В1.

Пример 4. Источник света расположен над плоскостью нижнего основания куба в точке Q на высоте, вдвое превышающей ребро куба (рис. 4.5). Построить тень, отбрасываемую кубом на плоскость его нижнего основания.

Разумеется, можно было бы построить отдельно тени, отбрасываемые каждым вертикальным ребром куба, а затем соединить соответствующие вершины. Однако здесь проще воспользоваться тем, что ребра верхнего основания куба параллельны плоскости нижнего основания. Следовательно, тенью, отбрасываемой верхним основанием куба, будет квадрат. Поскольку QQ1 вдвое больше ребра куба, то сторона этого квадрата будет равна 2 а (докажите).

Если мы проведем в кубе линию центров оснований и построим отбрасываемую ею тень, то не составит труда вычертить тень, отбрасываемую всем верхним основанием, а затем и всем кубом (см. рис. 4.5).

4.1. Дан куб ABCDА1В1С1D1. Через вершину А, середину E ребра BC и центр O грани СС1D1D проходит секущая плоскость. Найдите отношение, в котором она делит объем куба.

4.2. Дан куб ABCDА1В1С1D1 с ребром, равным единице. Найдите площадь сечения куба плоскостью, проходящей через вершину А и середины F и G ребер В1С1 и С1D1.

4.3. В кубе ABCDА1В1С1D1 проведена плоскость через вершину А, центр O1 верхнего основания А1В1С1D1 и центр Q боковой грани ВВ1С1С. Пусть E — точка пересечения секущей плоскости с ребром В1С1. Найдите отношение В1E к ЕС1.

4.4. Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD. Сторона CD продолжена на расстояние MD = 2CD (MC = 3CD). Через точку M, вершину В и середину ребра SC проведена плоскость. Найдите отношение объемов частей пирамиды, полученных при пересечении ее этой плоскостью.

4.5. Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD с вершиной S. Через точки А, D и середину ребра SC проведена плоскость. В каком отношении эта плоскость делит объем пирамиды?

4.6. Дан куб ABCDА1В1С1D1. На продолжении ребер AB, АА1, AD отложены соответственно отрезки ВР, А1Q, DR длины 1,5АВ. Через точки P, Q, R проведена плоскость. В каком отношении эта плоскость делит объем куба?

4.7. Площадь боковой грани правильной шестиугольной пирамиды равна Q. Вычислите площадь сечения, проходящего через середину высоты пирамиды параллельно боковой грани.

4.8. В треугольной призме ABCА1В1С1 боковое ребро равно l. В основании призмы лежит правильный треугольник со стороной b, а прямая, проходящая через вершину В1 и центр основания ABC, перпендикулярна к основаниям. Найдите площадь сечения, проходящего через ребро AB и середину ребра СС1.

4.9. В прямоугольном параллелепипеде ABCDА1В1С1D1 (ABCD и А1В1С1D1 — основания) даны длины ребер AB = а, АD = b, АА1 = с. Пусть точка O — центр основания ABCD, O1 — центр основания А1В1С1D1, F — точка, делящая отрезок O1O в отношении 1 : 3. Найдите площадь сечения данного параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку F параллельно его диагонали АС1 и диагонали ВD основания.

4.10. В точке E, находящейся на расстоянии 2h от плоскости основания куба с ребром h и на расстоянии R > 2h от прямой, соединяющей центры оснований куба, помещен источник света. Докажите, что тень, отбрасываемая кубом на плоскость основания, будет иметь наибольшую площадь, когда плоскость, проходящая через центр куба, точку E и одну из вершин, перпендикулярна к плоскости основания.

4.11. На плоскость Π под прямым углом к ней падает пучок параллельных лучей. Как расположить над плоскостью куб с ребром а, чтобы отбрасываемая им тень имела максимальную площадь? Найдите площадь максимальной тени.

5.1. Найдите геометрическое место оснований перпендикуляров, опущенных из центра O круга на хорды, проходящие через данную точку N внутри круга.

5.2. На плоскости зафиксированы две различные точки А и В. Найдите геометрическое место точек M, для каждой из которых AM · ВМ · cos ∠ AMB = ¾АВ².

5.3. На плоскости зафиксированы две различные точки А и В. Докажите, что геометрическое место точек M, удовлетворяющих условию 2АМ² + МВ² = АВ², есть окружность с диаметром AC, где точка С лежит на отрезке AB, причем AC/BC = 2.

5.4. Дан треугольник ABC. Найдите геометрическое место точек M, таких, что площади треугольников АМВ и NМС равны.

5.5. На плоскости даны два отрезка: AB и CD. Найдите геометрическое место точек M плоскости, для которых площади треугольников ABM и CDM равны.

5.6. Дан куб с ребром а. Найдите геометрическое место середин отрезков длины l, один из концов которых лежит на диагонали верхнего основания, а другой — на непараллельной ей диагонали нижнего основания.

6.1. Докажите, что р² − 1 делится на 24, если p — простое число, большее 3.

6.2. Докажите, что n³ + 2n при любом натуральном n делится на 3.

6.3. Докажите, что число 3105 + 4105 делится на 49 и 181.

6.4. Сколько в числе 500! содержится множителей 2?