Gustavo Pineiro - У интуиции есть своя логика. Гёдель. Теоремы о неполноте.

Некоторые обрывки этих бесед сохранены в письмах Гёделя. Эйнштейн, похоже, был настроен относительно будущего человечества довольно оптимистично, хотя и с некоторыми оговорками. Гёдель, наоборот, проявлял пессимизм, что не было удивительно в первые годы ядерной эры, когда казалось, что вот-вот разразится атомная катастрофа.

Образ Гёделя и Эйнштейна, беседующих на немецком языке во время прогулок по Принстону, стал широко известным. Эйнтштейн вспоминал: самое важное, что он делал в Принстоне в те годы,— это прогулки с Гёделем.

Рассказывают, что во время одной из этих прогулок водитель автомобиля узнал Эйнштейна и от удивления чуть не врезался в дерево. Гёделя, почти всегда облаченного в шляпу, пальто и перчатки (даже в разгаре лета), наоборот, узнавали редко.

Эйнштейн скончался в 1955 году, и это стало тяжелым ударом для Гёделя, хотя он и не выражал свое горе публично. Ученый пишет матери: 

"То, что люди никогда не упоминают меня в связи с Эйнштейном, меня вполне устраивает (и также устроило бы и его, поскольку он поддерживал мнение, что даже известный человек заслуживает право на личную жизнь). После его смерти меня несколько раз приглашали сказать несколько слов о нем, но я, естественно, не согласился".

Заметным следствием бесед с Эйнштейном стали статьи Гёделя по теории относительности — в отличие от остальных его работ они не имеют прямой связи с математической логикой.

Первая, написанная на английском языке, называлась "Пример нового типа космологических решений эйнштейновских уравнений гравитационного поля" и была опубликована в журнале Reviews of Modern Physics за 1949 год (том 21, номер 3, страницы 447-450). В этой статье Гёдель представил решение уравнений Эйнштейна, которое заключается в описании вращающейся, гомогенной, закрытой и стабильной (то есть нерасширяющейся) системы с замкнутыми времени подобными кривыми. Теоретически эти кривые позволяли путешествия во времени и фактически сделали бы так, что в такой Вселенной времени не существовало бы в том значении, в котором мы обычно его понимаем, поскольку прошлое и будущее были бы неразличимы.

Хотя такое описание не противоречит уравнениям Эйнштейна, оно касается не реального мира. И все же Вселенная Гёделя вызывала определенный интерес. Ученый писал: 

"Сам факт совместимости с законами природы вселенных, в которых невозможно различить абсолютное время и, следовательно, в которых не может существовать объективного промежутка времени, проливает свет на значение времени также в тех вселенных, в которых можно определить абсолютное время". 

Эти слова взяты из "Замечания об отношении между теорией относительности и идеалистической философией", опубликованного также в 1949 году в качестве сообщения в сборнике, изданном Артуром Шлиппом, посвященном работе Эйнштейна. Эта книга была частью коллекции "Библиотека современных философов", вклад в которую Гёдель внес еще в 1944 году сборником, посвященным Бертрану Расселу. В отличие от других работ эта статья была написана языком, доступным широкой публике, без использования математических формул. В ней Гёдель рассмотрел некоторые философские следствия из теории относительности в ее связи с природой времени, "этой таинственной и, казалось бы, противоречивой сущности, которая, с другой стороны, похоже, составляет основу существования мира и нашего собственного существования" (цитата из этой статьи).

В работе Гёдель утверждает, что относительность обеспечивает "безошибочное доказательство философской концепции, в которой, как и у Парменида, Канта и современных идеалистов, отрицается объективность изменений и считается, что изменение — это иллюзия или видимость, вызванная нашим особенным методом восприятия". Гёдель объясняет эту идею,

Гёдель(слева) и Эйнштейн во время одной из многочисленных прогулок в Принстоне с 1940 по 1954 год.

В 1951 году Гёдель (вместе с американским физиком-теоретиком Джулианом Швингером) был награжден премией Альберта Эйнштейна. Слева направо: Эйнштейн, Льюис Штраус (председатель совета Института перспективных исследований в Принстоне), Гёдель и Швингер.

основываясь на том факте, что изменение существует только относительно объективного промежутка времени, но понятие "объективного промежутка времени" несправедливо в релятивистской вселенной, в которой у каждого наблюдателя есть свое собственное "сейчас", не сравнимое с "сейчас" других наблюдателей. Следовательно, если нет объективного времени, нет изменений.

Гёдель продолжает: "Джеймс Джинс сделал вывод, что нет причин отказываться от интуитивной идеи существования абсолютного времени, длящегося объективно. Я не думаю, что ситуация оправдывает этот вывод", — говорит он и объясняет это расхождение во взглядах, основываясь на результатах, полученных в своей предыдущей статье. Если существуют вселенные без объективного времени, совместимые с уравнениями относительности, а наша Вселенная, конечно же, совместима с ними, то мы не можем точно сделать вывод о том, что в нашей Вселенной есть объективное время.

В 1952 году была опубликована третья и последняя работа Гёделя об относительности. Она называлась "Вращающиеся вселенные в общей теории относительности" и на самом деле была рефератом его выступления на Международном математическом конгрессе в Кембридже (Массачусетс) в 1950 году. В ней ученый излагает новые решения уравнений Эйнштейна, вновь основанные на вращающихся Вселенных, хотя в этом случае не все они имеют замкнутые времениподобные кривые.

Хотя решения Гёделя не описывают реальную Вселенную, они подтолкнули поиск неортодоксальных решений уравнений Эйнштейна, и в этой области Гёдель опять был первым.

Ученый опубликовал все свои работы по математической логике в течение всего десяти лет, с 1930 по 1939 год (пока жил в Вене, хотя последние две статьи, 1938 и 1939 годов, были опубликованы на английском языке в американских журналах). Во время принстонского периода Гёдель не публиковал результатов по логике и в основном (за исключением уже упомянутых статей по теории относительности) занимался комментированием философских выводов своих предыдущих исследований.

Джеймс Хопвуд Джинс, которого Гёдель цитирует в своей второй статье о теории относительности,— британский физик, математик и астроном, родившийся в 1877 году в графстве Ланкашир. Он учился в Кембриджском университете и преподавал там же до переезда в Принстонский университет в 1904 году, где работал преподавателем прикладной математики. Вернулся в Кембридж в 1910 году. Джинс внес важный вклад в квантовую механику, теорию излучения и звездную эволюцию. Его анализ вращающихся тел привел к выводу о том, что теория Лапласа об образовании Солнечной системы из облака газа была ошибочной. В свою очередь, Джинс предположил, что планеты возникли из вещества, испущенного Солнцем из-за гипотетического столкновения с другой звездой; однако сегодня эта теория не принята. Ученый написал несколько книг по популярной физике и космологии, которые принесли ему славу замечательного популяризатора науки. В одной из них, "Загадочная Вселенная", сказано:

"Направление знаний устремляется к немеханической реальности: Вселенная теперь больше похожа на великую мысль, чем на великую машину. Разум уже не кажется неким существом, случайно вторгшимся в королевство материи... мы скорее должны приветствовать его как создателя и властелина королевства материи". 

Джеймс Джинс скончался в графстве Суррей (Англия) в 1946 году.

Последняя научная работа по математической логике за авторством Гёделя появилась в форме книги объемом примерно 70 страниц, опубликованной издательством Принстонского университета в 1940 году. Она не была напрямую написана Гёделем, а представляла собой издание конспектов курса, прочитанного ученым в 1938-1939 годах в Институте перспективных исследований. Книга называется "Совместимость аксиомы выбора и обобщенной континуум-гипотезы с аксиомами теории множеств", и в ней изложено частичное решение первой из проблем, которые поставил Давид Гильберт на своей знаменитой лекции 1900 года, — проблемы, изначально сформулированной Георгом Кантором и известной как континуум-гипотеза.

Чтобы понять, что такое континуум-гипотеза, мы должны вернуться к теории Кантора о бесконечности, о которой говорилось в первой главе. Вспомним, что множество, по словам самого Кантора, это "собрания целиком объектов действительности или нашей мысли". Так, имеется множество всех дней недели, множество всех месяцев в году или множество четных натуральных чисел. Одни из этих множеств конечны, другие бесконечны.