Antonio Lizana - Если бы числа могли говорить. Гаусс. Теория чисел

Благодаря построению 17-угольника в 1796 году Гаусс понял, что может извлечь больше пользы из своего таланта, занимаясь математикой, а не философией. Осознавая важность своего открытия, которое решало одну из проблем построения с помощью линейки и циркуля — проблему, очень долго волновавшую математиков, — он написал об этом в своем небольшом дневнике. Эта запись стала первой в одном из самых интересных математических документов в истории науки. Последняя запись сделана 9 июля 1814 года. Дневник Гаусса — это всего 19 страниц, на которых содержится 146 коротких записей с открытиями или результатами вычислений. Содержание записей ученого стало известно только в 1898 году, через 43 года после смерти Гаусса, когда Королевское сообщество Гёттингена попросило внука математика предоставить дневник для изучения. Так стали известны большинство результатов, полученных Гауссом, и были разрешены многие споры об авторстве математических открытий. Дневник позволял ученому быстро записывать идеи, которые у него появлялись. Гаусс записывал конечный результат, без его строгого доказательства, причем даже сама формулировка требовала определенной расшифровки. Ученый вел дневник для себя, поэтому прибегал в записи к аббревиатурам, значение которых знал только он, и не всегда использовал математические обозначения. Большинство записей удалось расшифровать, поскольку результаты, к которым они относятся, Гаусс позже опубликовал в более формальном виде (например, записи, относящиеся к треугольным числам, к методу наименьших квадратов или дифференциальной геометрии). Теорема, относящаяся к треугольным числам, имеет в дневнике следующий вид:

ΕΥΡΗΚΑ! num = Δ + Δ + Δ.

Этот результат Гаусс опубликовал позже в книге «Арифметические исследования» в 1801 году в такой формулировке: любое число может быть записано в качестве суммы, самое большее, трех треугольных чисел. Но есть настолько зашифрованные записи, что их так и не удалось понять. Гаусс записал 11 октября 1796 года: Vicimus GEGAN («Мы победили дракона»). До сих пор неясно, что за дракона он имел в виду. Ученый пишет 8 апреля 1799: REV. GALEN в прямоугольнике, и эту запись не удается связать ни с одним из известных результатов Гаусса.

Важность этого открытия для математики заключается в том, что именно благодаря ему Гаусс решил посвятить себя этой науке. На следующий день, 30 марта, ровно за месяц до 19-летия, юноша сделал свою первую запись в самом важном научном дневнике за всю историю математики. В этот дневник попадет большинство математических открытий XIX века, но некоторые результаты Гаусса за наиболее плодотворный период между 1796 и 1814 годами в него не вошли. Благодаря многим записям удалось установить первенство математика в ряде областей, хотя некоторые его современники отказывались верить в то, что он их опередил. Запись от 19 марта 1797 года доказывает, что Гаусс открыл двойную периодичность некоторых эллиптических функций. Эллиптические функции, то есть обобщение таких тригонометрических функций, как синус и косинус, были интересны в связи с вычислением размера дуги эллипса (отсюда их название), что, в свою очередь, оказалось очень важным для астрономических расчетов. Гауссу в это время было 20 лет. Другая запись доказывает, что немецкий математик обнаружил двойную периодичность в общем случае — только одно это открытие, если бы оно было опубликовано, тут же принесло бы ему мировую известность.

Многие другие записи, которые на несколько десятилетий оказались сокрытыми в этом дневнике от всех, будучи опубликованными, возвысили бы полдюжины математиков. Некоторые открытия Гаусса не были опубликованы в течение его жизни, но он не претендовал на первенство, обнаружив, что его открытия заново сделаны другими авторами, поскольку был слишком гордым, чтобы вступать в споры такого рода. Говоря о себе, Гаусс замечал, что вел научные исследования только в ответ на собственные природные устремления, а публикация результатов и приобщение к ним других людей для него всегда имели второстепенное значение.

Гаусс случайно сообщил одному из своих друзей идею, которая может объяснить как существование его дневника, так и медлительность в публикации новых результатов. Ученый утверждал, что когда ему было 20 лет, то количество новых идей, приходивших ему в голову, было таким, что он едва успевал записывать их в полном виде, и у него для таких записей было очень мало времени, поэтому в дневнике содержится только краткое изложение результатов сложных исследований, которые порой продолжались по нескольку недель. В молодости Гаусс восхищался рядом синтетических доказательств, объединявших идеи Архимеда и Ньютона, и он решил следовать великому примеру этих гигантов и оставлять только совершенные и законченные работы, к которым нельзя ничего добавить и от которых нельзя ничего отнять, не изменив их. Работа сама по себе должна быть законченной, простой и убедительной, такой, чтобы нельзя было найти какого-либо знака, указывавшего на труды, которых она стоила. Собор, говорил математик, не собор, пока не разобраны последние леса. Стремясь к этому идеалу, Гаусс предпочитал долго отполировывать свой шедевр, вместо того чтобы публиковать полный ход своих рассуждений, что он очень легко мог бы сделать. На личной печати ученого изображено дерево с небольшим количеством фруктов и девиз Pauca sed matura («Мало, но спелые»). И эти слова в точности отражали мнение Гаусса относительно научных публикаций. Как мы позже увидим, дневник помог разрешить некоторые споры, в частности возникшие с Лежандром.

Построение с помощью линейки и циркуля, до этого много раз описанное в математических работах, состоит в том, чтобы строить точки, отрезки и углы, пользуясь исключительно идеальными линейкой и циркулем. Предполагается, что линейка имеет бесконечную длину и лишена делений, позволяющих измерять и переносить расстояния, а циркуль закрывается каждый раз, поднявшись над листом бумаги, так что его также невозможно использовать для переноса расстояний, поскольку он «забывает» о расстоянии между точками, как только перестает чертить окружность. Это правило построений было введено еще древнегреческими геометрами, и с тех пор оно осталось неизменным. Ограничение для циркуля кажется очень неудобным для современных циркулей, но на самом деле не предполагает серьезных неудобств, потому что перенос расстояний можно осуществить непрямым способом, хотя и с помощью большего количества шагов. Благодаря этому правилу построение шестиугольника с помощью линейки и циркуля кажется тривиальным (поскольку каждая окружность содержит вписанный шестиугольник со стороной, равной радиусу окружности), но требует больше работы, чем могло бы показаться.

Построение шестиугольника с помощью линейки и циркуля по описанным ранее правилам показано на рисунке.

Проведем две параллельные вертикальные прямые и третью, перпендикулярную им. Проведем окружности радиусом АВ с центрами в точках А и В. Возьмем одну из точек пересечения, например О. Это центр шестиугольника. Теперь проведем окружность с центром в точке О и радиусом ОА. Получаем точки Р и Q в местах пересечения с предыдущими окружностями и точки R и S в местах пересечения вертикальных прямых с окружностью, которую мы только что провели. Соединив вершины, получаем искомый правильный шестиугольник.

Построение шестиугольника с помощью идеальных линейки и циркуля, по традиции древних греков. Гаусса привлекло построение этих фигур, и в 19 лет он доказал, что таким образом можно нарисовать правильный многоугольник с 17 сторонами.

После того как мы определили правила, сформулированные древними греками, возникает вопрос: можно ли построить с помощью линейки и циркуля любой правильный многоугольник? Это зависит от того, о каком многоугольнике мы говорим. На основе построения шестиугольника тривиальным является построение равностороннего треугольника, поскольку для этого нужно лишь соединить чередующиеся вершины. Другая классическая проблема построений с помощью линейки и циркуля заключается в том, чтобы провести биссектрису угла. Сочетая эти два процесса, мы можем утверждать, что можно построить, по крайней мере в теории, все правильные многоугольники с числом сторон 3 х 2n, где n — натуральное число. Так, для n = 2 мы получаем 12-угольник, или многоугольник с 12 сторонами, а для n = 3 — многоугольник с 24 сторонами, и так мы можем продолжать, просто увеличивая п. Это решение очень далеко от общего ответа на вопрос. И мы увидим, что это частный случай предложенного Гауссом решения.

Греки нашли решение для пятиугольника, но общую проблему это не устранило, поскольку не был найден метод построения многоугольника с семью сторонами (а также других многоугольников с количеством сторон меньше 20). Более того, даже не было известно, существуют ли такие методы. Гаусс заинтересовался проблемой и нашел метод построения 17-угольника. Много лет спустя он будет вспоминать этот момент в письме Герлингу от 6 января 1819 года: