Jose Santonja - Физика учит новый язык. Лейбниц. Анализ бесконечно малых.

Мы упомянули ранее, что Лейбниц начал открывать себе дорогу в научные общества благодаря своему арифмометру. Возвращаясь к этой теме, взглянем на эволюцию механических вычислительных устройств.

С тех пор как человек научился считать, он применяет это умение во всех областях своей жизни. С развитием цивилизации сложность вычислений возрастала: приходилось осуществлять каждый раз все более трудоемкие подсчеты, связанные с торговлей, путешествиями, астрономией и так далее. Тогда- то человек и начал придумывать различные способы быстрых и надежных вычислений. Так появились счетные инструменты, призванные механизировать некоторые вычислительные операции. Они позволяли исключить или минимизировать ошибки, которым подвержено любое ручное вычисление.

Первые попытки вычислять проще и качественнее были «пальцевыми». Некоторые приемы позволяют производить с помощью пальцев более сложные операции, чем сложение и вычитание. Например, чтобы быстро умножить на 9, существует правило, состоящее в том, чтобы протянуть две руки и начать считать с края, обычно слева, и загнуть палец, соответствующий числу, на которое мы хотим умножить 9. Для получения результата достаточно сосчитать количество пальцев слева от согнутого (это будет число десятков) и после согнутого (это будет число единиц). На рисунке 3 мы видим, что результат умножения 9x4 равен 36.

Выдающемуся человеку недостойно терять время на рабский труд — вычисление, которое может осуществить любой с помощью машины.

Готфрид Вильгельм Лейбниц

Если мы хотим умножить два числа больше 5, достаточно загнуть на каждой руке количество пальцев, соответствующее результату вычитания 5 из каждого множителя. Загнутые пальцы на обеих руках суммируются и умножаются на 10, и к этому прибавляется произведение числа поднятых пальцев на обеих руках. На рисунке 4 мы можем увидеть результат умножения 8 (8-5 = 3 загнутых пальца, в этом случае на правой руке) х9(9-5 = 4 загнутых пальца). Так как у нас загнуто 7 пальцев, а поднято 2 на одной руке и 1 на другой, то произведение 8x9 = 7x10 + 1x2 = 72.

РИС.З

РИС. 4

Системы вавилонян, майя, египтян, греков или римлян, среди прочих, позволяли осуществить подсчет, но были сложными для вычислений. Только подумайте об умножении XIII на XXI, пользуясь римскими цифрами. Но так как инженерное дело и торговля должны были развиваться, пришлось придумать методы, позволявшие осуществлять вычисления, необходимые для нужд цивилизации. Так было создано первое в истории вычислительное устройство: счеты.

С небольшими различиями и некоторыми вариациями счеты появились повсеместно почти одновременно более 3000 лет назад. Это было, кроме того, наиболее долговечное изобретение, которое использовалось еще в XX веке.

Возможно, изначально счеты представляли собой всего лишь ряд канавок на песке, куда помещались calculus («камешки» на латыни, откуда происходит слово «калькуляция»). Затем их конструкция изменилась. В обиход вошли несколько палочек: на них надевали косточки, с помощью которых осуществляли вычисления.

РИС. 5

Изображение римских счетов. Их столбики представляют собой единицы, десятки, сотни, обозначенные римскими символами I, X и С, за которыми следуют единицы, десятки и сотни тысяч. Правая часть использовалась для представления дробей.

На рисунке 5 показаны воссозданные римские счеты. В них есть ряд вертикальных линий, где каждая косточка имеет значение в единицу в нижней части и в пять единиц — в верхней.

РИС. 6

Китайские счеты. Читаются справа налево, следуя десятичному порядку: единицы, десятки и так далее. Считаются шарики у центральной поперечины.

На счетах представлено число 16 336, поскольку в десятках два шарика в пять единиц равны одной единице разряда выше.

Имеющиеся символы соответствуют символам римской системы счисления. У некоторых римских счетов были специальные линии для работы с дробями. Широко известны в наше время китайские счеты, называющиеся суанъпанъ, которые можно найти в сувенирных магазинах. Как видно на рисунке, они состоят из деревянной рамки с рядом спиц, разделенных на две части. Верхняя часть, называемая небо, имеет две костяшки, каждая из которых равна 5, а в нижней части (земля) находятся пять костяшек, каждая из которых равна единице. Способ счета — приближение соответствующих костяшек к центральной разделительной поперечине. Справа налево появляются единицы, десятки, сотни, тысячи и так далее. Каждый раз, когда на одном уровне образуется целый десяток, он удаляется и добавляется одна единица на уровне выше.

Японские счеты, или соробан, похожи на китайские, но в небе находится только одна костяшка, а на земле — четыре, чего достаточно для осуществления арифметических операций. Русские счеты состоят из рамы со спицами, на которые нанизано по десять костяшек без всякого разделения.

В течение нескольких веков счеты были главным устройством для вычислений; существовала даже профессия абакиста, осуществлявшего расчеты с помощью этого инструмента. Когда в Европе начали вводить арабские цифры, позволяющие перейти к позиционной системе счисления, абакисты встретили нововведения крайне враждебно, призывая оставить классический способ вычисления. Известна иллюстрация, сделанная Грегором Рейшем для работы Margarita philosophica {«Жемчужина философии»), на которой встречаются абакист, в данном случае Пифагор, и Боэций — алгорист, использующий новые арабские цифры. Несмотря на свои явные преимущества, позиционная система счисления полностью прижилась в Европе только в XVI веке.

Джон Непер (1550-1617), барон Мерчистон, теолог и математик. Главной в своей жизни он считал религию, а математикой занимался ради развлечения, но вошел в историю науки как создатель логарифмов — инструмента, над которым работал более 20 лет и который продемонстрировал в 1614 году в своей работе «Описание удивительной таблицы логарифмов».

Открытые им логарифмы не имели никакого определенного основания, но английский математик Генри Бригс убедил его ввести основание 10. Поскольку Непер был уже болен, Бригс сам вычислил десятичные логарифмы первых тысячи чисел. Основываясь на той же самой идее нахождения инструмента для облегчения арифметических операций, он помог Джону Неперу в 1617 году, то есть в год смерти ученого, опубликовать работу «Рабдология, или две книги о счете с помощью палочек», в которой были представлены таблицы Непера.

До XVII века не было изобретено ничего нового, способного упростить вычисления. В 1617 году шотландский математик Джон Непер опубликовал свой труд, который стал известен как «Рабдология». В нем ученый представил ряд таблиц, позволявших превратить произведение в сумму, а деление — в вычитание. Эти таблицы получили название палочек Непера. Изобретение состояло из ряда вертикальных столбцов: в каждом из них имелось девять квадратов, разделенных на две части диагональной чертой, кроме самого верхнего. В верхнем квадрате стояло число, которое нужно было умножить, а нижние квадраты содержали результат умножения этого числа на два, три, четыре и так далее до девяти.

С помощью данного изобретения можно было умножать большие числа. Следовало взять соответствующие колонки, чтобы цифры в верхних квадратах образовали искомое число. После этого нужно просто сложить между собой значения из соответствующей строки с учетом их разрядности. Так, для умножения числа 625 на 7 в соответствующем ряду умножения получались значения 4 для тысяч, 3 = 2 + 1 для сотен, 7 = 4 + 3 для десятков и 5 для единиц. То есть 625 х 7 = 4375. Мы можем убедиться в этом, взглянув на рисунок 7. Если нужно умножить большие числа, достаточно выбрать каждый ряд цифр второго множителя и последовательно сложить числа, полученные предыдущим способом. Чтобы умножить 2134 на 732, необходимо распределить таблицы так, как показано на рисунке 8. Суммируются значения, соответствующие каждому множителю. Следует учитывать, что когда мы складываем по диагонали, а сумма больше девяти, как в случае с десятками произведения 2134x3, мы помещаем на их место единицы, а десятки этого результата прибавляются к следующей цифре.

РИС. 7

Произведение сводится к тому, чтобы провести серию сложений, поскольку произведения для каждой цифры уже имеются в таблице. Чтобы провести деление, требуется обратный процесс, вычитание. Если мы хотим разделить 4312 на 625, нужно взять таблички, соответствующие делителю (625), и выполнить все операции умножения в каждой линии с целью найти наиболее близкое к делимому (4312) число, меньшее его. Таким образом мы получаем частное (6), как видно из рисунка 9. Наконец, чтобы найти остаток от деления, мы должны вычесть из 4312 значение 3750, что дает нам в результате 562.