Самая сложная задача в мире. Ферма. Великая теорема Ферма - Коллектив авторов

Швейцарский ученый Леонард Эйлер (1707-1783) был знаковой фигурой в математике XVIII века. Его работы посвящены практически всем областям математики, существовавшим в тот момент, а также разнообразным проблемам физики и ряда других наук.

Эйлер занимал выдающиеся должности в академиях наук России и Пруссии во время правления Екатерины Великой и Фридриха II, где он общался на равных с королями и мыслителями уровня Вольтера. Ученый был одноглазым и в конце концов полностью потерял зрение, но это не помешало ему каждую неделю писать по статье.

У него была чудесная память, которая позволяла ему доказывать теоремы в уме, а также без проблем читать наизусть"Энеиду" от начала и до конца. Рассказывают, что когда Екатерине надоели атеистические рассуждения Дидро, она попросила Эйлера унизить его публично. Тот подошел к философу и выпалил:

"(a+bⁿ)/n = х, следовательно, Бог существует. Отвечайте!"

Дидро не знал, что ответить. Однако некоторые историки сомневаются в истинности этой истории. Также Эйлеру принадлежит одна из самых красивых формул в математике: еⁿ + 1 = 0.

Однако прусский математик Христиан Гольдбах (1690- 1764; что любопытно, он знаменит благодаря своей до сих пор не доказанной гипотезе, не сильно отличающейся от задач, которыми занимался Ферма) начал изучать работы Ферма и привлек к ним внимание самого великого математика своего времени. Этим математиком, родившимся примерно через 40 лет после смерти Ферма, был Леонард Эйлер.

Как и все женщины-ученые, жившие до XX века, парижский математик Софи Жермен (1776-1831) столкнулась со множеством проблем в своей научной карьере. Она не получила официального образования и пользовалась для учебы записками Политехнической школы. Софи также переписывалась с великими математиками своего времени, такими как Жозеф Луи Лагранж, Адриен Мари Лежандр и Гаусс, выдавая себя за некоего "господина Леблана". Гаусс узнал правду о ее личности при самых любопытных обстоятельствах, которые только можно себе представить. Когда наполеоновские войска заняли территорию Германии, где жил Гаусс,

Жермен испугалась за жизнь своего корреспондента, вспомнив пример Архимеда, и написала генералу Пернети, другу ее семьи, попросив его защитить гения. Пернети послал отряд, от которого Гаусс узнал о хлопотах Софи. Тронутый и удивленный, Гаусс написал Жермен, заметив, что из-за глупых предрассудков эпохи женщина вынуждена действительно быть человеком, обладающим "благородной смелостью, необычайным талантом и наивысшей гениальностью", чтобы победить все препятствия.

Итак, любопытство Эйлера было разбужено комментариями Гольдбаха, и швейцарец начал анализировать работы Ферма. Среди прочего он доказал: тот ошибся, утверждая, что числа, известные как "числа Ферма", всегда простые. Также Эйлер изучал Великую теорему Ферма. И хотя он не смог доказать ее для общего случая, ему удалось доказать ее для n = 3. Так что на тот момент, когда Эйлер оставил данную тему, было доказано два случая... или на самом деле бесконечное их число, поскольку если доказать теорему для n = 3, результат также справедлив для всех чисел, кратных 3, то есть для последовательности 6, 9, 12, 15... Так происходит потому, что любая степень, кратная трем, может быть записана в виде числа в кубе. Например, 4⁶ = 16³. Кстати, доказательство самого Ферма для n = 4 справедливо также для чисел, кратных 4.

Если бы мы могли доказать теорему для простых чисел, поскольку любое число кратно простым числам, мы бы доказали ее в целом. Однако, к сожалению, доказательство для п - 5 оказалось гораздо сложнее, чем представлял себе Ферма. В любом случае, тот факт, что Эйлер заинтересовался работами Ферма, вызвал интерес к теории чисел. Благодаря Эйлеру и Карлу Фридриху Гауссу (1777-1855) данная дисциплина превратилась в уважаемую математическую теорию, как этого и хотел Ферма.

Гаусс отзывался о Великой теореме Ферма достаточно презрительно и считал работу над ней потерей времени. Возможно, он и сам пытался решить когда-то эту задачу, но, потерпев неудачу и разочаровавшись, повел себя подобно лисе из басни про лису и виноград. Но другие математики его времени подошли к задаче очень серьезно. Например, Софи Жермен открыла, что для простых чисел, теперь носящих ее имя (числа р, где р — простое число, и Р = 2р + 1 также простое), с учетом некоторых требований, которым должны соответствовать Р и р (в частности, что р не является делителем произведения трех неизвестных — х, y, z — из уравнения Ферма), теорема Ферма верна для n = p. С помощью этого подхода Жермен удалось доказать теорему Ферма для всех простых чисел, меньших 100. К сожалению, ее работа не была опубликована при жизни.

Адриену Мари Лежандру и Густаву Лежёну Дирихле удалось доказать теорему для n = 5. При этом они использовали математические инструменты, которых не существовало в XVII веке, такие как теория квадратичных форм. Доказательство теоремы является относительно простым для n = 3 и n = 4, но оно становится гораздо сложнее начиная с n = 5 и недоступно обычным методам начиная с n = 23.

В любом случае, Софи Жермен была первой, кто попытался найти решение для целого класса чисел, а не для частных случаев; также она открыла новые подходы к решению задачи, которыми продолжали пользоваться в последующие годы.

В следующие десятилетия были предприняты попытки Габриеля Ламе (1795-1870) и Огюстена Луи Коши (1789-1857) доказать теорему. Ламе удалось найти решение для n = 7, и на бурном заседании Французской академии наук он объявил, что вот-вот докажет ее для общего случая. Он в общих чертах обрисовал свою стратегию, которая основывалась на алгебре комплексных чисел. Но настоящая сенсация произошла, когда Коши, который был одним из самых значительных математиков своего времени, встал и объявил, что он тоже вот-вот получит доказательство и его подход очень похож на метод Ламе.

Так началась гонка между этими двумя учеными, которая была драматично прервана немцем Эрнстом Куммером (181 ΟΙ 893), публично заявившим, что подход Коши и Ламе неверен. Куммер справедливо утверждал, что они оба совершили роковую ошибку, когда предположили, будто комплексные числа, которыми они пользовались, имеют единственное разложение на множители.

После этого попытки Коши и Ламе провалились, в то время как Куммер продолжил исследования и в итоге создал новую математическую теорию, чтобы попытаться доказать Великую теорему Ферма. Данное исследование подтолкнуло его к изучению разложения на множители, на которое опирались французы, и это, в свою очередь, привело его к формулировке принципов того, что сегодня известно как теория идеалов. Инструменты для доказательства становились все более сложными...

Однако Куммер пошел еще дальше. Пользуясь еще более продвинутыми математическими методами, он нашел условия, которые делали возможным единственное разложение на множители. На основе этого он доказал, что существуют некие простые числа, называемые регулярными, для которых Последняя теорема Ферма выполняется. Куммеру удалось доказать теорему для огромного числа случаев (возможно, бесконечного, хотя не было доказано, что число регулярных простых чисел бесконечно). На самом деле ему удалось доказать ее для всех случаев меньше 100, кроме 37,59 и 67, являющихся иррегулярными простыми числами.