Дмитрий Гусев - 200 занимательных логических задач

67. Для решения этой задачи надо составить уравнение. Но сначала на основе запутанного ответа крокодила следует построить следующую схему (возраст попугая в прошлом примем за х):

Итак, на схеме видим, что сейчас крокодилу действительно в 10 раз больше лет, чем было попугаю тогда, когда крокодилу было столько лет, сколько попугаю сейчас. Поскольку разница в возрасте и в прошлом и в настоящем остается одинаковой, составим уравнение:

                          110 – х = 10 х – 110.

Преобразуем: 110 + 110 = 10 х + х

или                    220 = 11 х.

Следовательно: х = 220 : 11 = 20.

Попугаю в прошлом было 20 лет, крокодилу сейчас в 10 раз больше, т. е. 200 лет.

68.

Лодка (это видно из рисунка) прошла два катета прямоугольного треугольника (длиной 30 км и 40 км по условию). Следовательно, гипотенуза этого треугольника и является искомым диаметром. По теореме Пифагора:

Диаметр водоема равен 50 км.

69. Вопрос задачи, на первый взгляд, кажется очень странным, ведь если держать бумагу над огнем, то она обязательно загорится. Но дело в том, что температура кипения воды намного ниже температуры воспламенения бумаги. Поскольку теплоту пламени забирает кипящая вода, бумага не может нагреться до нужной температуры и поэтому не загорается. Надо только, чтобы бумага была достаточно плотной, иначе вода просто порвет ее и выльется на пламя. Для кипячения воды вполне подойдет картонная коробка. То же самое объяснение лежит в основе такого явления, как несгораемая бумажка, плотно намотанная на металлический стержень (или стальной гвоздь) и внесенная в пламя свечи. Теплоту огня будет забирать стержень, не давая бумажке нагреться до нужной температуры и загореться.

70.

71. Сумма диаметров малых окружностей (|А С| + |С D| + |D B|) равна диаметру большой окружности (А В). Поскольку длина полуокружности равна половине произведения числа «пи» на диаметр, то пройденные зайцем и волком расстояния будут одинаковыми. Следовательно, отставание волка от зайца в пункте В не уменьшится, и погоня в данном случае не закончится.

72. Первые два числа очевидны. Это 111 и 3. А третье число – 37, ведь 111 = 37 × 3, а если некое число делится без остатка на 111, то оно так же делится и на 3, и на 37.

73. Для решения этой задачи надо составить простую схему. Обозначим нынешний возраст Кати как х.

Из схемы следует, что самая старшая – Катя, далее следуют по возрасту Оля и Настя.

74. Все правдолюбцы верно утверждали, что все написанное ими – правда, но и все лжецы ложно утверждали, что все написанное ими – правда. Таким образом, все 35 сочинений содержали утверждение о правдивости написанного.

75. У каждого человека 2 родителя, 4 бабушки и дедушки, 8 прабабушек и прадедушек, 16 прапрабабушек и прапрадедушек. Чтобы узнать, сколько было прапрабабушек и прапрадедушек у всех прапрабабушек и прапрадедушек каждого из нас, надо 16 × 16. Получится 256. Этот результат получается, конечно же, если исключить случаи кровосмешения, т. е. браки между различными родственниками.

Если принять в расчет, что одно поколение – это примерно 25 лет, то восемь поколений (о которых шла речь в условии задачи) соответствуют 200 годам, т. е. 200 лет назад каждые 256 человек на Земле были родственниками каждого из нас. За 400 лет количество наших предков составит 256 × 256 = 65536 человек, т. е. 400 лет назад у каждого из нас было 65536 живущих на планете родственников. Если же «открутить» историю на тысячу лет назад, то получится, что все население Земли того времени являлось родственниками каждому из нас. Значит, действительно все люди, по крупному счету, – братья.

76. Можно попытаться, используя инерцию бутылки, резким движением выдернуть платок из-под нее. Но, скорее всего, ничего не получится: положение бутылки слишком неустойчиво. Однако вспомним, что сила трения уменьшается при вибрациях. Кулаком одной руки надо равномерно и несильно стучать по столу недалеко от бутылки, а другой рукой – аккуратно тянуть платок. При определенной частоте и силе ударов по столу платок начнет плавно выскальзывать из-под бутылки. При этом важно обратить внимание на то, чтобы у края платка была не очень большая кромка: она, как правило, сбивает бутылку в последний момент. Поэтому лучше, чтобы платок вообще был без кромки.

77.

78. В этом рассуждении в одних и тех же словах смешиваются различные математические операции: деление на два и умножение на два. На этом смешении и основан подвох в виде внешне правильного доказательства ложной мысли.

79.

80. Номер для квартиры.

81. Нельзя, так как через 72 часа, т. е. через трое суток, будет опять 12 часов ночи, а солнце ночью не светит (если дело не происходит за полярным кругом в полярный день).

82. У хозяйки 25 рублей, у мальчика 2 рубля. Всего 27 рублей, значит те 2 рубля, которые у мальчика, входят в цифру 27. А в условии задачи к 27 прибавлено 2 рубля, которые у мальчика, и поэтому получается 29. Надо к 27 не прибавлять 2 рубля, а отнимать.

83. Посмотрев на оборот последней страницы тетради по математике, где приводится система мер и весов, вы увидите, что 1 литр равен 1 дм3. Следовательно, в бассейн налили 1 000 000 дм3 воды, или 1 000 м3 воды (т. к. из той же таблицы 1 м = 10 дм). Зная площадь бассейна (1 Га = 10 000 м2) и объем налитой в него воды, легко вычислить его глубину:

В бассейне глубиной 10 см плавать невозможно.

84. Для сравнения указанных величин надо привести квадратный корень и кубический к корню одной степени. Это может быть корень шестой степени. Соответственно, изменятся и подкоренные выражения. Получится 6√8 и 6√9. Корень шестой степени из девяти ненамного больше такого же корня из восьми, следовательно, кубический корень из трех больше, чем квадратный корень из двух.

85. Обозначим стоимость линейки как х. Тогда у одного мальчика не хватает до стоимости линейки (х – 24) коп., а у другого (х – 2) коп. При сложении своих денег они все равно не смогли купить линейку. Составим простое неравенство:

(х – 24) + (х – 2) < х

Преобразуем:

х – 24 + х – 2 < х

2х – 26 < х

2х – х < 26

х < 26

Итак, линейка стоит меньше 26 коп., но она стоит больше 24 коп., так как по условию у одного мальчика не хватает до ее стоимости 24 коп. Следовательно, линейка стоит 25 коп.

86. Надо спросить любого депутата: «Вы консерватор?» Если он ответил «да», то сегодня четное число, а если «нет», то нечетное. По четным числам консерваторы скажут правдивое «да», а либералы, говоря неправду, тоже произнесут «да». По нечетным числам, наоборот, консерваторы, отвечая на вопрос, скажут «нет», но либералы, говорящие в эти дни только правду, тоже скажут «нет».

87. На первый взгляд может показаться, что бутылка стоит 1 рубль, а пробка 10 коп., но тогда бутылка дороже пробки на 90 коп., а не на рубль, как по условию. На самом деле, бутылка стоит 1 руб. 05 коп., а пробка стоит 5 коп. (См. также задачу 94).

88. Задачу можно решить простым методом подбора. Допустим, человек родился в 1980 году. Сумма цифр года его рождения – 18. Сколько лет ему будет в 1998 году? 1998–1980 = 18. Итак, в 1998 году возраст человека (18 лет) оказывается равным сумме цифр года его рождения (1980). Человеку 18 лет.

89. На первый взгляд может показаться, что Оля проходит 30 ступенек – в два раза меньше, чем Катя, так как она живет в два раза ниже ее. На самом деле это не так. Когда Катя поднимается на четвертый этаж, она преодолеет 3 лестничных пролета между этажами (между 1-ым и 2-ым, 2-ым и 3-им, 3-им и 4-ым). Значит между двумя этажами 20 ступенек: 60: 3 = 20. Оля поднимается с первого этажа на второй, следовательно, она преодолевает 20 ступенек.

90. Это число 9I, которое при переворачивании вверх ногами превращается в I6. При этом оно уменьшается на 75 (91–16 = 75). При решении этой задачи надо учитывать, что при переворачивании числа вверх ногами его цифры не только переворачиваются, но и меняются местами.

91. Возраст Саши примем за х. Тогда возраст одного его x брата – (х + 3), другого – (х – 3), третьего – , а отца – 3х.

Поскольку всем вместе 95 лет, можно составить уравнение:

Преобразуем:

Итак, Саше 15 лет, одному его брату – 18, другому – 12, третьему – 5, а отцу – 45 лет.

92. На развернутом листе будет 128 дырок. Надо принять во внимание, что при каждом складывании листа количество дырок удваивается.