Иэн Стюарт - Математические головоломки профессора Стюарта

– Итак, на главной стадии рассуждений мы оба знаем то, что я только что вам рассказал. И в этот момент вы быстро объявляете, что можете определить нужные нам числа! Так что я быстро перебираю все возможные пары чисел с этими суммами и обнаруживаю, что 10 из 11 вариантов s имеет одно из возможных произведений, совпадающее с произведением для другого значения s. Поскольку вы сказали мне, что уже знаете нужные нам числа, все 10 таких s можно смело исключить из расследования. Остается единственный возможный вариант суммы, 17, и единственное произведение, не допускающее двух разных значений s. А именно 52, которое получится, если представить 17 как 4 + 13, и только в этом случае. Следовательно, два наших числа – это 4 и 13.

Я поздравил Сомса с такой проницательностью.

– Пошлите кого-нибудь из Нерушимых сил Бейкер-стрит к Роулейду с этим сообщением, – скомандовал он, быстро записывая числа на клочке бумаги. – Не пройдет и часа, как двое злоумышленников будут арестованы.

В 1930 г. Хайман Лоб и Херберт Ричмонд доказали, что в некоторых случаях жадный алгоритм дает лучшее решение, чем построение Малфатти. Ховард Ивз в 1946 г. заметил, что для равнобедренного треугольника с очень острой вершиной пирамидальное построение почти вдвое больше по площади, чем построение Малфатти. В 1967 г. М. Голдберг доказал, что жадный алгоритм всегда лучше варианта Малфатти, а в 1994 г. Виктор Залгаллер и Г. А. Лось доказали, что он всегда дает наибольшую возможную площадь.

M. R. Schroeder, Diffuse sound reflection by maximum-length sequence. Journal of the Acoustical Society of America 57 (1975) 149–150.

János Pach and Ethan Sterling, Conway's conjecture for monotone thrackles, American Mathematical Monthly 118 (June/July 2011) 544–548.

Я ломал голову три часа кряду, но в конце концов сдался и попросил Сомса раскрыть секрет.

– Но потом вы скажете мне, как все абсурдно просто.

– Нет! Никогда!

– Позволю себе не согласиться, Ватсап. Потому что на этот раз все действительно просто до абсурдности, – молчание тянулось и тянулось, и он смилостивился: – Очень хорошо. Будем считать, что в нашем распоряжении имеется только черная и серая краска, а белым цветом отмечены еще не рассмотренные области. Начнем с того, что покрасим одну из областей в черный цвет (см. верхнюю левую фигуру на рисунке). После этого я выбираю одну из примыкающих областей и окрашиваю ее в серый цвет (верхняя средняя фигура). Затем окрашиваю примыкающую область черным, затем следующую – серым и т. д.

– Мне кажется, что после первого сделанного выбора во всех последующих случаях выбор делается вынужденно, – неуверенно сказал я.

– Да! Решение, если оно существует, должно быть единственным – с точностью до взаимной замены двух красок. И вы видите, что постепенно вся карта будет раскрашена с использованием только двух красок – черной и серой. Так что в данном случае, по крайней мере, решение существует.

– Согласен. Но я не до конца понимаю…

– Почему. Прекрасное замечание. На этот раз, мой дорогой Ватсап, вы попали в самую точку, а не по пальцу молотком. Проблема в том, чтобы доказать, что любая такая цепочка раскрашивания в черный и серый цвета приведет к одному и тому же результату, так? Потому что таким образом процесс не может привести к ситуации, для которой следующую оставшуюся область окрасить невозможно.

– Кажется, это я понимаю.

– Это можно сделать, – сказал Сомс. – Но есть более простой способ. Обратите внимание на то, что каждый раз, когда мы пресекаем общую границу, цвет меняется. Таким образом, если мы пересекаем нечетное число границ, то мы должны выбирать серый цвет, а если четное – то черный.

Я кивнул и тут же ляпнул:

– Но… как можем мы быть уверены, что не возникнет никаких противоречий?

Сомс блеснул улыбкой.

– Это потому, что мы можем, опираясь на только что мною сказанное, предписать каждой области вполне определенный цвет. Просто сосчитайте, в состав скольких кругов входит данная точка – конечно, точка не на окружности, потому что окружности мы не красим. Если это число четное, окрашиваем точку в черный цвет; если нечетное, окрашиваем в серый.

– Далее, пересечение любой границы либо добавляет к этому числу один дополнительный круг, либо вычитает из числа кругов единицу. В любом случае нечетное меняется на четное, а четное – на нечетное, так что цвет по разные стороны от этой границы должен быть разным.

Доказательство оказалось ясным как божий день.

– Ну, Сомс…

– Конечно, – прервал он меня с легчайшим намеком на улыбку, – некоторые из окружностей могут касаться друг друга. Но и здесь действует тот же метод, нужно лишь правильно интерпретировать. Следует избегать пересечения границ в точке касания, и если немного подумать, то станет ясно, что это всегда можно сделать.

Ну, может, не совсем как божий день, но… да, я понял.

– Это… – начал я, но остановился, увидев выражение его лица, и закончил иначе:

– Очень умно.

Четыре одинаковых шара можно разместить так, чтобы каждый из них касался остальных трех. Поставьте три шара равносторонним треугольником, чтобы они касались друг друга, а затем поместите четвертый сверху, чтобы он лег в центральное углубление и образовал вместе с ними тетраэдр. Теперь в центр пирамиды можно поместить пятый, меньший шарик такого размера, чтобы он касался всех четырех. Таким образом получаем пять шаров, каждый из которых касается остальных четырех; следовательно, все они должны быть окрашены в разные цвета.

Сначала ответ. Нам нужно решить уравнение Разделив обе части на 4πr², получим Следовательно, r = 3.

А теперь о палимпсесте.

Оригинальная рукопись Архимеда не сохранилась, но эта копия (несомненно, результат целой серии копирований) была сделана византийским монахом около 950 г. н. э. В 1229 г. рукопись была расшита, а листы чисто (относительно) выскоблены вместе с листами по крайней мере шести других рукописей. Затем они были сложены пополам и использованы для записи 177-страничного христианского богослужебного текста – описания порядка религиозных служб.

В 1840-е гг. германский библеист Константин фон Тишендорф, наткнувшись на этот текст в Константинополе (ныне Стамбул), обратил внимание на какие-то слабо различимые математические записи и привез страницу из рукописи с собой. В 1906 г. датский ученый Йохан Гейберг установил, что часть палимпсеста составляет какое-то произведение Архимеда. Он сфотографировал его и в 1910 и 1915 гг. опубликовал кое-какие выдержки из документа. Вскоре после этого Томас Хит перевел опубликованный материал, но в то время он привлек мало внимания. В 1920-е гг. документом владел один французский коллекционер; к 1998 г. документ каким-то образом оказался в США и стал предметом судебного разбирательства между аукционным домом «Кристис» и Греческой православной церковью, которая утверждала, что в 1920 г. этот документ был похищен из монастыря. Судья принял решение в пользу «Кристис» на основании того, что промежуток времени между предполагаемым похищением и судебным иском по его поводу был слишком велик. Документ был приобретен анонимным покупателем (по сообщению журнала Der Spiegel, это был основатель компании Amazon Джефф Безос) за $2 млн. С 1999 по 2008 г. документ был подвергнут консервации в Художественном музее Уолтерса в Балтиморе и проанализирован группой специалистов по визуальной информации, целью которых было «проявить» скрытые записи.

Метод Архимеда можно объяснить (используя современный язык и обозначения) следующим образом. Начнем с шара радиусом 1, описанного вокруг него цилиндра и некоего конуса. Если поместить центр шара в точку x = 1 на действительной прямой, то радиус сечения в любой точке x от 0 до 2 равен √(x(2 − x)), а его масса пропорциональна π квадратам этой величины, а именно πx (2 – x) = 2πx – πx².

Далее рассмотрим конус, полученный вращением прямой y = x вокруг оси x, опять же для 0≤x≤2. Сечение этого конуса в точке x представляет собой круг радиусом x и площадью πx². Его масса пропорциональна этой величине с тем же коэффициентом пропорциональности, так что общая масса ломтика шара и ломтика конуса равна (2πx – πx²) + πx² = 2πx.