Марк Перельман - Наблюдения и озарения или Как физики выявляют законы природы

Далее Дебай продемонстрировал взаимосвязь между дифрагированными пучками и тепловым движением атомов в кристаллах — таким образом, этот анализ позволял не только устанавливать структуры кристаллов, но и рассматривать некоторые протекающие в них процессы. При этом он понял, работая в 1916 г. с Паулем Шеррером, что даже в порошке имеется достаточное количество мельчайших или неидеальных кристаллов, так что дифракция рентгеновских лучей может охарактеризовать их молекулярную структуру.

До того наибольшей сложностью анализа была необходимость получения совершенных кристаллов — задача далеко не всегда выполнимая. Совместно с Шеррером он и разработал метод исследования структуры порошков с помощью дифракции рентгеновских лучей (метод Дебая-Шеррера или метод дебаеграмм).

В 1936 г. Дебай был награжден Нобелевской премией по химии «за вклад в наше понимание молекулярной структуры в ходе исследований дипольных явлений и дифракции рентгеновских лучей и электронов в газах».

* * *

Необходимо отметить, что у рентгеноструктурной кристаллографии есть и недостатки: поскольку рентгеновские лучи взаимодействуют с электронами, то они плохо улавливают узлы решетки, в которых находятся протоны — ионы водорода. Лучше в этом плане ведут себя нейтроны — они, согласно де Бройлю, также обладают волновыми свойствами и их пучки образуют, проходя через кристалл, дифракционную картину. При этом они «не замечают» электронов, но зато фиксируют местоположения всех ядер. Таким образом, нейтроннографические методы дополняют рентгеноструктурные (мы уже говорили о том, что именно так были подтверждены свойства фононов как частиц).

Математика — вроде французов: когда говоришь с ними; они переводят твои мысли на свой язык: и сразу получается что-то совсем другое.

И. В. Гёте

В русском языке весьма употребительно словосочетание «физико-математические» (науки, ученые степени, факультеты и т. д.), поэтому создается впечатление о некоего единства физики и математики. А вот в старых английских университетах кафедры чистой математики относятся к отделениям искусств, а не наук. Кто же прав?

Движение, тепловое расширение, действие электрического тока или излучение атома не зависят от того, появилось на Земле человечество или нет. А вот, скажем, биссектрису, дробь 7/13 или квадратное уравнение никто никогда в природе не наблюдал — их выдумали. Поэтому физика — это наука, а математика — чистое творение нашего разума и этим близка к искусству. (Как отмечает выдающийся физик Р. Ф. Фейнман в начале своих «Лекций по физике», из того, что математика не является наукой, вовсе не следует, что она плоха — любовь ведь, например, тоже не наука.)

И действительно, искусство характеризуется всегда некими условными ограничениями: в балете все переживания передаются танцем, сонет должен содержать определенное число строк и т. д. Точно так же теория чисел ограничивается только и только целыми числами (в ней, вообще говоря, запрещена операция деления), геометрия Евклида допускает только построения с помощью циркуля и линейки без делений (поэтому в ней невозможно, например, деление произвольного угла на три части), теория действительного переменного запрещает некоторые типы квадратных уравнений и т. д. Дополнение этих аксиом вызывает интерес, если из них следует достаточное количество нетривиальных выводов.

Согласно Ричарду Фейнману, любая теорема, независимо от того как трудно было ее впервые доказать, рассматривается математиками, как только она доказана, как тривиальная. Поэтому есть два и только два типа математических утверждений: тривиальные и те, которые еще не доказаны. Несколько по иному можно сказать так: доказанную теорему математики изменить уже нельзя, поскольку она следует установленным аксиомам теории, а физическое утверждение, как правило, может и будет изменяться и дополняться с изменением основной базы теории.

Итак, математика — творение чистого разума. Но почему математические расчеты на основе предположений, принимаемых физиками, ведут к результатам, которые оправдываются потом на практике, почему они описывают реальные явления?

В 1960 г. выдающийся физик, разрешавший многие тонкие проблемы, Юджин Вигнер (1902–1995, Нобелевская премия 1963 г.) опубликовал статью «О непостижимой эффективности математики в естественных науках», вызвавшую широкую полемику в научных и философских кругах. В ней он и задает вопрос: как и почему творение нашего разума, не связанное никакими условностями, приводит к решениям, которые могут столь адекватно отражать природные явления, — и не находит ответа.

Но это вовсе не значит, что все математические конструкции применяются в физике, биологии или экономике. Вот, скажем, математики рассматривали теорию функций, определенные степени которых удовлетворяют некоторому условию, причем, конечно, в общей теории рассматривали произвольные степени. Потом оказалось, что такая теория с первой степенью описывает классическую механику и термодинамику, а со второй — волновые явления и квантовую механику, остальные возможные степени, в том числе дробные, пока не востребованы, и никто не может сказать, нужны они будут когда-нибудь в какой-то теории или нет.

Таким образом, получается, что математика в ходе собственных исследований заранее готовит обширный арсенал средств, некоторые из которых затем оказываются чрезвычайно полезными для ученых иных специальностей.

Но иногда случается и наоборот: Ньютону пришлось изобретать математический анализ[6]; мы уже говорили, что Хевисайду пришлось выдумывать новые математические приемы — операционное исчисление[7]. С середины 1920-х гг. Поль Дирак проводил расчеты с помощью введенной им дельта-функции, которая во всех точках равна нулю, а в одной точке — бесконечности. Математики, придерживавшиеся традиционных взглядов, приходили в ужас от такой безграмотности, но в 1947 г. Лоран Шварц построил новую математическую теорию и ввел такие функции в стандартный математический оборот. Иногда и в гораздо менее значительных работах физикам приходится решать задачи, до которых руки математиков не доходили.

Различие между физикой и математикой проявляется еще в том, что мы говорим: «физик открыл такое-то явление», но «математик придумал или изобрел такой-то прием или теорию».

Так-то это так, а все же физику-теоретику приходится изучать и применять математику: во-первых, перевод с обычного языка на математический позволяет резко сократить и унифицировать описание явлений, тем более — ход их количественных изменений. Так, колоссальный объем экспериментальных наблюдений Фарадея, плюс еще больший объем всего, что было сделано до него, Максвелл свел всего к четырем уравнениям. Во-вторых, как уже отмечалось, хотя бы в связи с электродинамикой Максвелла, уравнения нередко оказываются «умнее» тех, кто их вывел — они приводят к совершенно нежданным результатам, и мы еще не раз будем иметь повод об этом сказать.

Степень владения математикой у физиков-теоретиков различна: бывают виртуозы расчетов — А. Зоммерфельд, Г. Бете, Л. Д. Ландау[8], Дж. Швингер; бывают физики, старающиеся ограничиться минимальными средствами, — Н. Бор, Э. Ферми, а иногда в физику с успехом входят математики — Дж. фон Нейман, С.Улам[9], Н.Н. Боголюбов (вспоминаем только ученых XX в.). Некоторые физики считают, что математику для физиков нужно вообще излагать иным, чем для математиков, образом — такие курсы математики писали X. А. Лорентц, Я.Б. Зельдович, Ли Цзян-дао (о двух последних — ниже), иногда в книги и даже статьи по физике вставляются разделы по менее знакомым для читателей вопросам математики.

А о весьма противоречивом отношении к математике физиков, блистательно владевших ее методами, говорят их популярные афоризмы:

◦ «Физические законы должны обладать математической красотой» — П. Дирак,

◦ «Элегантность должна быть оставлена портным» — В. Паули.

◦ «В тех случаях, когда физическая сущность вопроса не ясна, не следует искать у математики путеводной нити для ее выяснения» — Я. И. Френкель,

◦ «Математическое требование высшей точности не очень полезно в физике» — Р. Фейнман.

Вкусы и установки у них, как видим, индивидуальны — общего рецепта нет.

Иное мнение у многих математиков. Великий математик Давид Гильберт любил повторять: «Физика слишком трудна для физиков, за нее должны взяться математики». Он даже включил в свой перечень самых острых проблем математики на XX в. задачу аксиоматизации физики и сам занялся проблемами общей теории относительности (успехи подключения математиков к этим проблемам не дали радикальных результатов).