Алекс Беллос - Красота в квадрате

[13] Борис Березовский умер 23 марта 2013 года в возрасте 67 лет.

[14] Theodore Hill, Knowing When to Stop, American Scientist, 2009.

ГЛАВА 7

[1] «Cool Cash» card confusion, Manchester Evening News, 2007.

[2] Georges Ifrah, The Universal History of Numbers, John Wiley & Sons, 2000.

[3] Абсурдное число (numeri absurdi) не следует путать с термином surd, обозначающим иррациональное число, то есть число, которое не может быть представлено в виде отношения двух целых чисел. Древние греки использовали для обозначения иррациональных чисел слово alogos, что означало «нет соотношения». Однако это слово означало также «не говорящий», что арабы перевели как assam, или «глухой». В латинских текстах употреблялось слово surdus, прямой перевод слова «глухой» с арабского. Вот так получилось, что иррациональные числа стали «глухими» числами, или surds.

[4] Martin Gardner, Mathematical Games: The Entire Collection of His Scientific American Columns, CD, 2005.

[5] Alberto A. Martínez, Negative Math, Princeton University Press, 2006.

[6] William Frend, The Principles of Algebra, G. G. and J. Robinson, 1796. В книге был разрешен знак минус, но запрещалось, чтобы неизвестные величины (которые могли обозначать нечто реальное) принимали отрицательные значения.

Френда больше всего помнят как социального реформатора и радикала. После получившего широкую огласку разбирательства его исключили из Кембриджа за обвинения в адрес англиканской церкви. Среди последователей Френда был Сэмюел Тэйлор Кольридж. Дочь Френда София (которая вышла замуж за выдающегося математика Огастеса де Моргана) писала о своем отце, что «возможно, именно ясность и прямота мышления повлекли за собой его математическую ересь, отказ от использования отрицательных величин в алгебраических операциях», прибавив, что «по всей вероятности, этим он лишил себя того инструмента работы, применение которого могло привести его к значительным достижениям в более высоких областях науки».

[7] Paul J. Nahin, An Imaginary Tale, Princeton University Press, 1998.

[8] Эйлер первым обозначил √–1 символом i, но он использовал его всего один раз, в научной статье, которая была опубликована через 11 лет после его смерти. Другие ученые начали систематически использовать символ i только после того, как в 1801 году его принял Гаусс.

[9] Еще одно решение уравнения x2 = i выглядит так:

что обратно решению, приведенному в тексте.

[10] Ed Leibowitz, The Accidental Ecoterrorist, Los Angeles Magazine, 2005.

[11] Джеймс Томсон, с которым мы встретимся в главе 8, ввел термин «радиан» в 1873 году, хотя сама концепция была известна к тому времени уже полтора столетия.

[12] Волновое уравнение Шредингера выглядит так:

где i = √–1, ћ — приведенная константа Планка, Ψ — волновая функция квантовой системы, Ĥ — оператор Гамильтона.

[13] Melanie Bayley, Algebra in Wonderland, The New York Times, 2010.

[14] John C. Baez and John Huerta, The Strangest Numbers in String Theory, Scientific American, 2011.

[15] Bertrand Russell, The Study of Mathematics, Mysticism and Logic: And Other Essays, Longman, 1919. Бертран Рассел — единственный математик мирового уровня, получивший Нобелевскую премию по литературе. Однако диплом по математике был и у Александра Солженицына (Нобелевская премия за 1970 год), и у Джона Максвелла Кутси (2003 год).

[16] Дэйв Болл публиковал свои статьи не в журнале, а на форуме, посвященном фракталам: groups.google.com/­forum/­?hl=en#!­topic/­sci.math/­jHYDf-Tm0-8.

ГЛАВА 8

[1] В 2001 году правительство Норвегии учредило ежегодную Абелевскую премию, названную в честь норвежского математика Нильса Хенрика Абеля (1802–1829). Ее денежный размер составляет около 1 миллиона долларов. Хотя эта премия аналогична Нобелевской по размеру и скандинавскому происхождению, она пока не заслужила такой репутации, как Филдсовская премия.

[2] gowers.wordpress.com.

[3] Plutarch, Life of Marcellus, цитируется по материалам онлайнового архива истории математики MacTutor.

[4] Carl B. Boyer, The History of the Calculus and Its Conceptual Development, Dover, 1959.

Большой треугольник строится таким образом, чтобы касательная, проведенная в его нижней вершине, была параллельна исходной прямой. Точно так же при построении каждого нового треугольника его вершина размещается так, чтобы касательная в этой точке была параллельна противоположной стороне.

[5] Ernst Sondheimer and Alan Rogerson, Numbers and Infinity, Dover, 2006.

[6] James Gleick, Isaac Newton, Harper Perennial, 2003.

[7] Ian Stewart, 17 Equations that Changed the World, Profile Books, 2012; Charles Seife, Zero, Souvenir Press, 2000.

[8] A. Rupert Hall, Philosophers at War, Cambridge University Press, 2002.

[9] Augustus De Morgan, A Budget of Paradoxes, 1872.

[10] Функция f(t, x, v) — это функция плотности вероятностей, которая определяет вероятность того, что частица окажется рядом с х при скорости v в момент времени t. Символом ∇ обозначается градиент, но применительно к нескольким переменным. Cédric Villani, Théorème vivant, Grasset, 2012.

[11] The Railroad Gazette (now Railway Age), 1880, цитируется по изданию: Halsey G. Brown, The History of the Derivation of the AREMA Spiral, arema.org.

[12] Клотоида — это кривая, кривизна которой пропорциональна длине. В алгебраической форме это можно записать так: кривизна = ks, где k — произвольная константа, s — расстояние вдоль кривой от начала координат. Бельгийский математик Фрэнки Диллен создал целый новый класс спиралей, рассчитывая их кривизну по формуле, представляющей собой многочлен с переменной s. (Многочлен, или полином, — это выражение, состоящее из переменных и степеней переменных, в котором используются только операции сложения, вычитания и умножения.) Диллен назвал эти кривые «полиномными спиралями». Они очень красивы; одна из любимых кривых Диллена — так называемая спираль Пикассо.

Кривизна = 10 (−45 + 51s −18s2 + 2s3)

[13] Joe Moran, On Roads, Profile Books, 2009.

[14] Robert Cartmell, The Incredible Scream Machine, Amusement Park Books, 1987; Chemin de Fer Aerien, La Nature, 1903.

Прежде чем открыть для публики аттракцион с мертвой петлей, было проведено три испытания: первое — с обезьянами в качестве пассажиров, второе — с грузом тяжелее веса крупного человека и третье — с участием акробата.

[15] George Berkeley, The Analyst: Or, a Discourse Addressed to an Infidel Mathematician, 1734.

ГЛАВА 9

[1] Steven G. Krantz, The Proof is in the Pudding, Springer, 2011.

[2] Martin Gardner, Mathematical Games: The Entire Collection of His Scientific American Columns, CD, 2005.

[3] Львов (укр. Львів) находится сейчас на территории Украины.

[4] В период написания книги лучшими кандидатами на звание самого скучного числа было число 224, которое являлось в то время наименьшим числом, не имеющим своей страницы в «Википедии», и 14 228, наименьшее число, которого не было в онлайновой Энциклопедии целочисленных последовательностей (Encyclopedia of Integer Sequences). Но поскольку об этих числах написано здесь, они стали интересными.

[5] Если количество точек на линии окружности равно n, то количество секторов рассчитывается по формуле

[6] В отличие от Фреге, некоторые специалисты по философии математики считают, что утверждение «отрицание отрицания утверждения А есть утверждение А» содержит глубокое противоречие.

[7] Douglas R. Hofstadter, Metamagical Themas, Basic Books, 1996.

[8] Martin Gardner, Logical Paradoxes, The Antioch Review, 1963.

[9] John Allen Paulos, I Think, Therefore I Laugh, Penguin, 2000.

[10] Одна из главных целей теории множеств состояла в том, чтобы доказать полноту математики. Другими словами, чтобы доказать, что, если теорема истинна, значит, она доказуема в рамках данной системы. Однако в 1931 году Курт Гедель доказал, что на самом деле это не так: в любой системе, достаточно мощной, чтобы включать в себя арифметику, обязательно найдутся утверждения, которые невозможно ни доказать, ни опровергнуть. Работа Геделя оказала существенное влияние на математическую философию, поскольку ограничила сферу действия логики в качестве основы для математики.

[11] Николя Бурбаки. Теория множеств. М. : Либроком, 2010. Интересно то, что Бурбаки ни разу не упоминает имя Курта Геделя (см. предыдущее примечание).

[12] Полдавия (фр. Poldèvie) — это шуточная страна, придуманная в 1929 го­ду одним французским журналистом с правыми убеждениями и упомянутая в письме членам парламента левого крыла, в котором он от имени угнетенного народа Полдавии просит их вмешаться. После того как группа Бурбаки сделала Полдавию своей родиной, эта шутка начала часто появляться в работе нескольких французских писателей послевоенного периода. Профессор французского языка и литературы Принстонского университета и отец автора этой книги Дэвид Беллос сказал, что это «редкий пример того, как математический юмор стал темой литературных произведений».

[13] Maurice Mashaal, Bourbaki, American Mathematical Society, 2006.