Владимир Успенский - Апология математики, или О математике как части духовной культуры

Сперва о понятии прямого угла. Это понятие может быть использовано для интеллектуального обогащения. Поставим такую задачу: объяснить, какой угол называется прямым, но объяснить не на визуальных примерах, а вербально — например, по телефону. Вот решение. Надо попросить собеседника мысленно взять две жерди, соединить их крест-накрест и заметить, что в точке соединения сходятся четыре угла; если все эти углы окажутся равными друг другу, то каждый из них и называют прямым. Какая же тут духовная культура, если речь идёт о жердях! — возмутится критически настроенный читатель. Но суть здесь, конечно же, не в жердях, а в опыте вербального определения одних понятий через другие. Такой опыт поучителен и полезен, а возможно, что и необходим. Математика вообще представляет собою удобный полигон для оттачивания искусства объяснения. Адресата объяснений следует при этом представлять себе тем внимающим афинскому софисту любопытным скифом, о котором писал Пушкин в послании «К вельможе». Объяснение признаётся успешным, если есть ощущение, что любопытный скиф его поймёт.

Теперь — пример из жизни треугольников. Речь пойдёт о триангуляции. Триангуляция — это сеть примыкающих друг к другу, наподобие паркетин, треугольников различной формы; при этом существенно, что примыкание происходит целыми сторонами, так что вершина одного треугольника не может лежать внутри стороны другого. Триангуляции сыграли важнейшую роль в определении расстояний на земной поверхности, а тем самым и в определении фигуры Земли.

Потребность в измерении больших, в сотни километров, расстояний — как по суше, так и по морю — появилась ещё в древние времена. Капитаны судов, как известно из детских книг, меряют расстояния числом выкуренных трубок. Близок к этому метод, применявшийся во II веке до н. э. знаменитым древнегреческим философом, математиком и астрономом Посидонием, учителем Цицерона: морские расстояния Посидоний измерял длительностью плавания (с учётом, разумеется, скорости судна). Но ещё раньше, в III веке до н. э., другой знаменитый древний грек, заведующий Александрийской библиотекой математик и астроном Эратосфен, измерял сухопутные расстояния по скорости и времени движения торговых караванов. Можно предполагать, что именно так Эратосфен измерил расстояние между Александрией и Сиеной, которая сейчас называется Асуаном (если смотреть по современной карте, получается примерно 850 км). Это расстояние было для него чрезвычайно важным. Дело в том, что Эратосфен считал эти два египетских города лежащими на одном и том же меридиане; хотя это в действительности не совсем так, но близко к истине. Найденное расстояние он принял за длину дуги меридиана. Соединив эту длину с наблюдением полуденных высот Солнца над горизонтом в Александрии и Сиене, он, далее, путём изящных геометрических рассуждений, вычислил длину всего меридиана, а тем самым и величину радиуса земного шара.

Ещё в XVI веке расстояние (примерно стокилометровое) между Парижем и Амьеном определялось при помощи счёта оборотов колеса экипажа. Очевидна приблизительность результатов подобных измерений. Но уже в следующем столетии голландский математик, оптик и астроном Снеллиус изобрёл излагаемый ниже метод триангуляции и с его помощью в течение 1615–1617 годов измерил дугу меридиана, имеющую угловой размер в один градус и одиннадцать с половиной минут.

Посмотрим, как триангуляция позволяет определять расстояния. Сперва триангулируется полоса земной поверхности, включающая в себя оба пункта, расстояние между которыми хотят найти. Затем выбирается один из треугольников триангуляции; будем называть его начальным. Далее выбирается одна из сторон начального треугольника. Она объявляется базой, и ее длина тщательно измеряется. В вершинах начального треугольника строятся вышки — с таким расчётом, чтобы каждая была видна из других вышек. Поднявшись на вышку, расположенную в одной из вершин базы, измеряют угол, под которым видны две другие вышки. После этого поднимаются на вышку, расположенную в другой вершине базы, и делают то же самое. Так, в результате непосредственного измерения, возникают сведения о длине одной из сторон начального треугольника (а именно о длине базы) и о величине прилегающих к ней углов. По формулам тригонометрии вычисляются длины двух других сторон этого треугольника. Каждую из них можно принять за новую базу, причём измерять её длину уже не требуется. Применяя ту же процедуру, можно теперь узнать величины сторон и углов любого из треугольников, примыкающих к начальному. И так далее. Важно осознать, что непосредственное измерение какого-либо расстояния проводится только один раз, а дальше уже измеряются только углы между направлениями на вышки, что несравненно легче и может быть сделано с высокой точностью. По завершении процесса оказываются установленными величины всех участвующих в триангуляции отрезков и углов. А это, в свою очередь, позволяет находить любые расстояния в пределах участка поверхности, покрытого триангуляцией. Именно так в XIX веке была найдена длина дуги меридиана от Северного Ледовитого океана до Дуная. Триангуляция содержала 258 треугольников, длина дуги оказалась равной 2800 км. Чтобы подавить неточности, при измерениях неизбежные, а при вычислениях возможные, десять баз были подвергнуты непосредственному измерению на местности.

Формулы тригонометрии, упомянутые выше, входят в школьную программу. Подавляющему большинству после школы они никогда не понадобятся, разве что на вступительных экзаменах, и их можно спокойно забыть. Знать — и не только знать, но и осознавать, понимать надо следующее (и именно это входит в обязательный, на наш взгляд, интеллектуальный багаж): треугольник однозначно определяется заданием любой его стороны и прилегающими к ней углами, и этот очевидный факт может быть использован и реально используется для измерения расстояний методом триангуляции. Если всё же кому-нибудь когда-нибудь и понадобятся формулы тригонометрии, их легко можно будет найти в справочниках. Учат ли в наших школах пользоваться справочниками? А ведь это умение несравненно полезнее, чем помнить формулы наизусть.

Наконец, о равенстве 32+ 42 = 52. Если положительные числа a, b, c обладают тем свойством, что a2 + b2 = c2, то, по обратной теореме Пифагора, они представляют собою длины сторон некоторого прямоугольного треугольника; если они к тому же суть числа целые, их называют пифагоровыми. Вот ещё пример пифагоровой тройки: 5, 12, 13. Возникает естественный вопрос, а что будет, если в соотношении, определяющем пифагоровы числа, заменить возведение в квадрат на возведение в куб, в четвёртую, пятую и так далее степень? Можно ли привести пример таких целых положительных чисел a, b, c, чтобы выполнялось равенство a3+ b3= c3, или равенство a4+ b4= c4, или a5+ b5= c5 и т. п.? Любую тройку целых положительных чисел, для которых выполняется одно из указанных равенств, условимся называть тройкой Ферма.

Только что сформулированным вопросом заинтересовался великий французский математик середины XVII века Пьер Ферма (вообще-то он занимался математикой, а заодно и оптикой, как хобби: служебные его обязанности состояли в заведовании отделом петиций тулузского парламента). Поиски требуемых примеров ни к чему не привели, и Ферма пришёл к убеждению, что их не существует. Утверждение о несуществовании троек Ферма принято называть Великой теоремой Ферма. Строго говоря, его следовало бы называть Великой гипотезой Ферма, поскольку автор утверждения не оставил нам его доказательства. Всё, что Ферма оставил потомкам на эту тему, — это две латинские фразы, написанные им около 1637 года на полях изданной в 1621 году в Париже на двух языках, греческом и латинском, «Арифметики» древнегреческого математика Диофанта. Указанное издание обладало широкими полями, и когда у Ферма появлялись те или иные мысли по ходу чтения, он записывал их на этих полях. И вот какие две фразы он, в частности, написал — приводим эти фразы в переводе: «Невозможно для куба быть записанным в виде суммы двух кубов, или для четвёртой степени быть записанной в виде суммы двух четвёртых степеней, или вообще для любого числа, которое есть степень больше двух, быть записанным в виде суммы двух таких же степеней. Я нашёл поистине удивительное доказательство этого предложения, но оно не уместится на полях [hanc marginis exiguitas non caperet; буквально: скудость поля его не вмещает]».

Своих математических открытий Ферма никогда не публиковал, часть их (да и то без доказательств) сообщалась им в частной переписке, а часть стала известной только после его смерти в 1665 году. К числу последних принадлежит и Великая теорема: в 1670 году старший сын Пьера переиздал в Тулузе Диофантову «Арифметику», включив в издание и 48 примечаний, сделанных его отцом на полях. Лишь в 1994 г. Эндрю Уайлс при участии своего ученика Ричарда Тэйлора доказал наконец Великую теорему — и притом доказал с использованием всей мощи современной математики, так что если сам Ферма и владел доказательством (что более чем сомнительно), то заведомо не таким. А до того Великая теорема оставалась Великой гипотезой.