Чарльз Сейфе - Ноль: биография опасной идеи

Это значит, что Черчилль сужался до ноля. А теперь посмотрим, какого цвета был Уинстон Черчилль? Возьмем любой световой луч, отраженный от него, и выберем фотон. Умножим равенство (7) на длину волны и получим:

длина волны фотона Черчилля = 0 . . . . . . . . . . (10).

Однако умножив равенство (7) на 640 нанометров, мы видим, что

640 = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(11).

Соединив равенства (10) и (11), мы получим, что длина волны фотона Черчилля = 640 нанометров.

Это означает, что данный фотон, как и любой другой, исходящий от мистера Черчилля, — оранжевый. Таким образом, Уинстон Черчилль имеет ярко-оранжевый цвет.

Суммируя полученные результаты, можно сказать, что мы математически доказали, что Уинстон Черчилль не имеет рук и ног, вместо головы у него пучок зелени, он сужается до точки и имеет оранжевый цвет. Ясно, что Уинстон Черчилль — морковка. (Есть и более простой способ доказать это. Добавление 1 к обеим частям уравнения (7) дает равенство 2 = 1. Уинстон Черчилль и морковка — разные вещи, поэтому они — одно и то же. Однако такое заключение менее удовлетворительно.)

Что не так в этом доказательстве? Только один шаг имеет порок — тот, благодаря которому мы переходим от уравнения (4) к уравнению (5). Мы делим на (a — b). Однако осторожно! Поскольку и a, и b равны 1, a — b = 1 — 1 = 0. Мы делили на ноль и в результате получили смешное равенство 1 = 0. Отсюда следует, что мы можем доказать любое утверждение, независимо от того, верно оно или ложно. Вся система математики развалилась.

Неосмотрительное использование ноля обладает властью уничтожить логику.

Разделите отрезок прямой на две части, так, чтобы отношение меньшей части к большей было бы равно отношению большей части ко всему отрезку. Для простоты будем считать, что меньшая часть имеет в длину 1 фут, а большая — x футов. Очевидно, что длина всего отрезка в этом случае x + 1. Придав отношению алгебраический вид, получим, что отношение меньшей части к большей равно 1 / x, а отношение большей части ко всему отрезку — x / (1 + x).

Поскольку отношение меньшей части к большей равно отношению большей части к целому отрезку, мы можем приравнять отношения друг другу, что дает уравнение:

x / (1 + x) = 1 / x.

Мы стремимся решить это уравнение в отношении x, что и есть золотое сечение. Первый шаг — умножить обе части уравнения на x, что дает

x2 / (1 + x) = 1.

Умножив потом обе части на (1 + x), получаем

x2 = 1 + x.

Вычтя 1 + x из обеих частей уравнения, получаем

x2 — x — 1 = 0.

Теперь можно решить квадратное уравнение:

х = 1±√(1 + 4) / 2.

Мы имеем два решения, однако только первое из них, примерно равное 1,618, является положительным числом, только оно имело смысл для греков. Таким образом, золотое сечение приблизительно равно 1,618.

В настоящее время понятие производной опирается на надежный логический базис, поскольку мы определяем ее в терминах пределов. Формальное определение производной от функции f(x) в точке x0, обозначаемой как f '(x), таково:

f '(x) = lim f(x + ε) — f(x) / ε при ε → 0.

Чтобы увидеть, как это помогает избавиться от грязной уловки Ньютона, рассмотрим ту функцию, которая использовалась для демонстрации флюксий Ньютона: f '(x) = x2 + x + 1. Производная этой функции равна

f '(x) = lim (x2 + 2εx + ε2 + x + ε+ 1 — x2 — x — 1) / ε при ε → 0..

Теперь x2 взаимно уничтожается с –x2, x аннигилирует с –x, а 1 — с –1. Остается

f '(x) = lim (2εx + ε + ε2) / ε при при ε → 0.

Разделив на ε, мы помним, что ε всегда отлично от 0, потому что мы еще не вычислили предел. Получаем

f '(x) = lim (2x + 1 + ε) при ε → 0.

Теперь мы находим предел и позволяем ε приблизиться к 0. Получаем

f '(x) = 2x + 1 + 0 = 2x +1

Это и есть ответ, который мы ищем. Всего лишь небольшой сдвиг в мышлении, но он и составляет всю разницу.

Чтобы показать, что рациональных чисел столько же, сколько натуральных, Кантор должен был всего лишь предложить разумный способ «рассадки». Именно это он и проделал.

Как вы можете вспомнить, рациональные числа — это набор чисел, которые могут быть выражены как a / b, где a и b — целые числа (при b, конечно, отличном от ноля). Для начала рассмотрим положительные рациональные числа.

Представьте себе числовую решетку — две числовые оси, пересекающиеся в нулевой точке, совсем как декартовы координаты. Поставим ноль в начало и любой другой точке решетки соотнесем рациональное число x / y, где x — координата точки по оси X, а y — координата по оси Y. Поскольку числовые оси уходят в бесконечность, каждое положительное сочетание x и y имеет точку на решетке (рис. 58).

Рис. 58. Нумерация рациональных чисел

Теперь давайте составим схему рассадки положительных рациональных чисел. В качестве места 1 начнем с точки 0 на решетке. Затем перейдем к точке 1 / 1 — это место 2, затем к точке 1 / 2 — это место 3, затем — к 2 / 1 (что, конечно, то же самое, что число 2) — это место 4, затем к 3 / 1 — это место 5. Мы можем путешествовать туда и сюда по решетке, пересчитывая по дороге числа. Это дает такую схему рассадки (место — рациональное число):

1 . . . . . . . . . . 0

2 . . . . . . . . . . 1

3 . . . . . . . . . . 1/2

4 . . . . . . . . . . 2

5 . . . . . . . . . . 3

6 . . . . . . . . . . 1

7 . . . . . . . . . . 1/3

8 . . . . . . . . . . 1/4

9 . . . . . . . . . . 2/3

И так далее, и так далее.

Со временем все числа получат места, некоторые — даже два. Удалить дубликаты легко — просто пропустить их при составлении схемы.

Следующий шаг — удвоить список, добавив отрицательные после соответствующих положительных рациональных чисел. Это даст нам схему рассадки:

Место — рациональное число

1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0

2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

3 . . . . . . . . . . . . . . . . .–1

4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1/2

5 . . . . . . . . . . . . . . . — 1/2

6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

7 . . . . . . . . . . . . . . . . .–2

8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

9 . . . . . . . . . . . . . . . . .–3

И так далее, и так далее.

Теперь все рациональные числа — положительные, отрицательные и ноль — имеют места. Поскольку никто не остался стоять и все места заняты, рациональных чисел столько же, сколько счетных.

Это легко — просто следуйте этим несложным инструкциям.

Шаг 1. Создайте небольшую кротовую нору. Оба ее конца будут в одной и той же точке времени.

Шаг 2. Прикрепите один конец кротовой норы к чему-нибудь очень тяжелому, а другой — к космическому кораблю, двигающемуся с 90% скорости света. Каждый год на корабле эквивалентен 2,3 года на Земле, часы на обоих концах кротовой норы будут идти с разной скоростью.

Шаг 3. Подождите немного. Через 46 лет по земному времени направьте кротовую нору к дружественной планете. Путешествие по кротовой норе приведет вас из 2046 года на Земле в 2020 год на Зилоксе или наоборот.

Шаг 4. Если вы достаточно сообразительны, вы могли начать планировать эту миссию заранее. Вы могли отправить на Зилокс послание задолго до того, как отправились в путь, организовав полет корабля с Зилокса навстречу, начавшийся в 1974 году (по летоисчислению Зилокса). Тогда в 2020 году по времени Зилокса другая кротовая нора могла бы переправить вас на Землю в 1994 год (по земному времени). Если вы будете пользоваться обеими кротовыми норами, то сможете перепрыгнуть из 2046 года (по Земле) в 2020-й (по Зилоксу) и далее в 1994-й (по Земле): вы вернетесь обратно во времени более чем на полстолетия!