Марио Ливио - φ – Число Бога. Золотое сечение – формула мироздания

Если принять общие определения эволюции, допускающей квантовые скачки, и естественного отбора, действующего в течение длительного времени, то, пожалуй, можно найти объяснение «непостижимой» эффективности математики. Наша математика – символическая репрезентация вселенной в том виде, в каком мы ее воспринимаем, и могущество математики постоянно растет благодаря изысканиям человека.

Джеф Раскин, создатель компьютера «Макинтош» в корпорации «Эппл», подчеркивает иной аспект – эволюцию человеческой логики. В эссе об эффективности математики, опубликованном в 1998 году, Раскин приходит к выводу, что «человеческая логика [курсив мой. – М. Л.] навязана нам физическим миром и поэтому соответствует ему. Математика выведена из логики. Вот почему математика точно описывает физический мир».

В пьесе «Тамерлан великий», где идет речь о герое-злодее маккиавеллиевского толка, который одновременно может быть и нежной душой, и жестоким убийцей, великий английский драматург Кристофер Марло (1564–1593) признает страсть человека к познанию Вселенной:

Золотое сечение есть продукт геометрии, которую изобрели люди. Однако люди не представляли себе, в какую волшебную страну заведет их это изобретение. Если бы мы не изобрели геометрию, то, вероятно, вообще не знали бы ничего о золотом сечении. Однако – кто знает? – возможно, мы получили бы его в результате работы короткой компьютерной программы.

Мы хотим доказать, что для любых целых чисел p и q, таких, что p > q, три числа: p2 – q2; 2pq; p2 + q2 формируют пифагорову тройку. Иначе говоря, нам надо доказать, что сумма квадратов первых двух чисел равна квадрату третьего.

Для этого мы обратимся к общим формулам сокращенного умножения, справедливым для любых a и b:

(a + b)2 = (a + b) × (a + b)= a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2ab +  b2

(a – b)2 = (a – b) × (a – b)= a2 – ab – ba + b2 = a2 – 2ab – b2.

На основании этих формул квадрат первого числа равен

(p2 – q2)2 = p4 – 2p2q2 + q4.

Сумма первых двух квадратов равна

p4 – 2p2q2 + q4 + 4p2q2 = p4 + 2p2q2 + q4.

Квадрат третьего числа равен

(p2 + q2)2 = p4 + 2p2q2 + q4.

Итак, мы видим, что квадрат третьего числа равен сумме квадратов первых двух чисел независимо от значений p и q.

Мы хотим доказать, что диагональ и сторона правильного пятиугольника несоизмеримы, то есть у них нет общей меры.

Общий принцип доказательства по методу reductio ad absurdum приведен в конце главы 2.

Обозначим сторону правильного пятиугольника ABCDE как s1, а диагональ – как d1. Из свойств равнобедренных треугольников легко вывести, что AB = AH и HC = HJ. Теперь обозначим сторону меньшего правильного пятиугольника FGHIJ как s2 и его диагональ как d2. Очевидно, что

AC= AH + HC= AB + HJ.

Следовательно,

d1 = s1 + d2 или d1 – s1 = d2.

Если у d1 и s1есть какая-либо общая мера, значит, и d1, и s1представляют собой целое произведение этой общей меры. Следовательно, существует также общая мера d1 – s1, то есть d2. Подобным же образом равенства

AG= HC= HJ

AH= AB

и

AH= AG+ GH

AB= HJ+ GH

дают нам

s1 = d2 + s2

или

s1 – d2 = s2.

Поскольку на основании нашего предположения общая мера для s1 и d1 представляет собой также общую меру для d2, последнее равенство доказывает, что она же еще и общая мера для s2. Поэтому мы обнаруживаем, что та единица, которая измеряет s1 и d1, измеряет также s2 and d2. Продолжать этот процесс можно до бесконечности, рассматривая правильные пятиугольники все меньшего и меньшего размера. Тогда мы получим, что та же единица, которая служит общей мерой стороны и диагонали первого правильного пятиугольника, служит общей мерой и для всех других пятиугольников, сколь бы крошечными они ни становились. Поскольку очевидно, что так быть не может, следовательно, наше первоначальное предположение, что у стороны и диагонали правильного пятиугольника есть общая мера, ложно, что и доказывает, что s1 и d1 несоизмеримы.

Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту, проведенную к основанию. У треугольника TBC основание BC равно 2а, а высота ТА равна с. Следовательно, площадь треугольника равна с × а. Мы хотим показать, что если квадрат высоты пирамиды h2 равен площади ее треугольной стороны s × a, то s/a равно золотому сечению.

Дано, что

h2 = s× a.

Применив теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику TOA, получаем

s2 = h2 + a2.

Теперь подставим значение h2 из первого равенства и получим

s2 = s× a + a2.

Разделим обе части на a2 и получим

(s/a)2 = (s/a)+ 1.

Иными словами, если мы обозначим s/a как x, у нас получится квадратное уравнение

x2 = x+ 1.

В главе 4 показано, что именно это уравнение и описывает золотое сечение. 

Одна из теорем в «Началах» доказывает, что если у двух треугольников одинаковые углы, эти треугольники подобны. А это значит, что форма у этих треугольников совершенно одинаковая и длины сторон соответственно пропорциональны. Если одна сторона одного треугольника вдвое длиннее соответствующей стороны второго треугольника, то это справедливо и по отношению к остальным сторонам.

Треугольники ADB и DBC подобны, поскольку у них одинаковые углы. Следовательно, отношение AB/DB, то есть отношение сторон треугольников ADB и DBC, равно DB/BC, то есть отношению оснований этих треугольников.

AB/DB= DB/BC.

Однако эти треугольники также равнобедренные, поэтому

DB= DC= AC.

Из вышеприведенных равенств следует, что

AC/BC= AB/AC,

Что означает (согласно определению Евклида), что точка C делит отрезок AB в золотом сечении. Поскольку AD = AB и DB = AC, получаем также, что AD/DB = φ.

Квадратные уравнения – это уравнения, имеющие вид

ax2 + bx+ c= 0,