Математика для гуманитариев. Живые лекции - Алексей Владимирович Савватеев

Вопросы математического кодирования — это вопросы примерно такого же типа, как и задача о разложении простого числа в сумму двух квадратов. И вот долгожданный ответ на поставленный выше вопрос.

Теорема. (Ферма — Эйлер — Гаусс. Гаусс здесь упомянут потому, что он ввел Гауссовы числа и установил простым образом все три эквивалентности, приводимые в формулировке.)

«Обычное» простое число (не комплексное) p является суммой двух квадратов, то есть p = х² + у² (х и у — обычные целые числа), тогда и только тогда, когда p перестает быть простым в гауссовой системе чисел Z[i]. И происходит это тогда и только тогда, когда либо p = 2, либо число «p» имеет, остаток 1 при делении на 4, то есть p = 4k + 1.

У Гаусса несколько «царских результатов». Он называл их разными именами. Например, есть некий закон про поведение остатков при делении одних чисел на другие. Гаусс назвал его «золотым результатом», «золотой результат Гаусса». Связь между представимостью простого числа р в виде суммы двух квадратов и его «поведением» в системе Гауссовых целых чисел — это королевская теорема Гаусса. Как следствие, «сокращая одну из эквивалентностей» в теореме выше, получаем как раз теорему Ферма — Эйлера: Простое число в обычных натуральных числах является суммой двух квадратов тогда и только тогда, когда оно имеет остаток 1 при делении на 4. Это мгновенно вычисляемая характеристика. Например, 97. При делении на 4 дает остаток 1: 97 = 96 + 1 = 4 · 24 + 1. Значит, по нашей теореме оно должно представляться в виде суммы двух квадратов. Так и есть: 97 = 81 + 16 = 9² + 4².

Возьмите число, в котором 25 цифр. Проверьте, что оно имеет остаток 1 при делении на 4, это очень просто. Проверить, что оно простое, немножко сложнее, но тоже не очень долго. Так вот, если вы узнали, что оно простое, и вычислили, что оно имеет остаток 1 при делении на 4, то вы можете спорить на любую сумму с любым неверующим Фомой, что есть два числа, суммой квадратов которых исходное число является. Никакого полного доказательства этой теоремы, кроме как через гауссовы числа, мне не известно (существует, говорят, по крайней мере 6 доказательств).

Давайте вернемся к пифагоровым тройкам. Пифагоровы тройки очень красиво находятся с помощью гауссовых чисел. Предположим, есть тройка x, у, z обычных целых чисел, которые являются сторонами прямоугольного треугольника, то есть

x² + у² = z².

Опять рассмотрим прямоугольный треугольник, наименьший в семействе. Иными словами, x, у, z попарно взаимно просты, у них нет общих делителей. Тогда довольно просто показать, что (x + уi) и (x − yi) — также взаимно просты (это следует из разной четности x и у).

То есть у гауссова числа и сопряженного ему гауссова числа нет общих делителей.

Вспоминаем прошлую лекцию: (х + уi)(х − уi) = z².

Произведение равно квадрату некоторого числа. Значит, все (Гауссовы) простые множители числа z входят в него в четной степени. Это означает, что в левой части уравнения стоит, с точностью до обратимых множителей, произведение двух квадратов.

Этот прием применяется во всех похожих структурах, не только в гауссовых числах. Если мы можем доказать основную теорему арифметики, то будет верен и этот замечательный результат: если произведение двух взаимно простых чисел равно квадрату, то каждое из этих чисел является квадратом с точностью до умножения на обратимые числа 1, i, −1 и −i (для гауссовых чисел) или до умножения на любые другие обратимые числа (если целые числа — не гауссовы).

Заметая «под ковер» исследование дополнительных обратимых множителей, делаем вывод, что

(х + yi) = (m + ni)² = m² + 2mni − n² = (m² − n²) + 2mni.

Комплексные числа равны в том и только том случае, когда их вещественные и мнимые части равны:

х = m² − n², у = 2mn.

Отсюда уже нетрудно вывести и формулу для гипотенузы Пифагорова треугольника: z = m² + n².

Вот мы и получили «формулу индусов». Через гауссовы числа она выводится почти в одну строчку.

Теперь — пара слов про великую теорему Ферма. Такие методы, как тот, который мы сейчас рассматривали, развивавшиеся весь XIX век, не привели к решению великой теоремы Ферма для всех показателей. Привело совершенно другое соображение. Соображение такое: если бы существовала тройка а, b, с такая, что аⁿ + bⁿ = сⁿ, то существовала бы некоторая, как математики выражаются, эллиптическая кривая с набором свойств, которые противоречат ее природе. Это — доказательство великой теоремы Ферма в одной фразе. Правда, к этой «одной фразе» придется добавить фраз 20–30, чтобы хоть слегка пояснить, что это за зверь такой — эллиптическая кривая, и, главное, какое отношение она имеет к великой теореме Ферма.

Ну и последний сюжет.

Диофант решал самые разные уравнения. Некоторые он сформулировал, но был не способен решить. А точнее, решения некоторых из них не найдены в первых 6 томах. Мы ничего не знаем про оставшиеся 7 томов, и я не удивлюсь, если в них было всё, что потом открывали в XVII, XVIII, XIX веках. В частности, Эйлер стал рассматривать одно из тех уравнений, которые Диофант не решил. Может, ли быть так, что квадрат некоторого натурального числа отличается от куба другого натурального числа на единицу? То есть требуется решить в целых числах уравнение

а² = b³ ± 1.

То, что квадрат одного числа просто равен кубу другого, очень легко представить себе, если а = с³ и b = с², при некотором целом с. В самом деле, тогда

а² = (с³)² = c⁶ = (с²)³ = b³.

Возьмем, например, с = 3. Тогда а = 27, b = 9: 27² = 9³ = 729. Так что эта задача неинтересная. Правда, число 729 напоминает мне один разговор.

Однажды два математика беседовали в кафе. Один другому говорит: «На свете нет ни одного числа, которое не было бы чем-то удивительным, просто ни одного». А второй отвечает: «Ну, как же? Ну, я возьму навскидку 1729. Что интересного в числе 1729?» А второй посмотрел на него и сказал: «Ты сам не догадываешься, насколько удивительное число ты