Математика для гуманитариев. Живые лекции - Алексей Владимирович Савватеев

Пальцем в небо ткнул и попал в число 1729. И вот что оказалось. Действительно, 1729 = 9³ + 10³, и 1729 = 12³ + 1³. Второй математик был сражен этим аргументом.

Так вот, бывает ли, чтобы куб и квадрат отличались на единичку?

Допустим, ваш ребенок играет в кубики. Он сложил из них большой куб, а вы украли у него один кубик. Тогда ребенок взял, развалил куб и сложил большой огромный квадрат. Может ли такое быть? Эйлер полностью решил эту задачу (а² = b³ ± 1).

Решим только одно уравнение из двух, потому что другое очень сложное: а² = b³ + 1 — сложное, а² = b³ — 1 простое.

В обоих случаях можно выписать ответ в явном виде.

У второго уравнения решений нет, кроме тривиальных: а = 0 и b = 1. Мы это сейчас докажем. А у первого, кроме тривиальных (а = 1 и b = 0), решением является пара (2, 3). Ведь 3² = 2³ + 1. Других решений нет. Эйлер и это доказал, но весьма сложным путем.

Разберем простой вариант:

а² = b³ − 1, а² + 1 = b³, (а + i)(a − i) = b³.

Могут ли у (а + i) и (а − i) быть общие множители? Пусть (а + i) и (а − i) делятся на какое-то простое гауссово число. Тогда их разность

(а + i) − (а − i) = а + i − а + i = 2i

тоже на него делится.

Простых гауссовых чисел, которые делят число 2i, всего одно: (1 + i). Есть еще 1 − i, но это «то же самое простое число», ибо 1 − i = (−i)(1 + i) — то есть, одно получается из другого умножением на обратимое.

Значит, наши числа (a + i) и (a − i), если они не взаимно просты, могут делиться только на (1 + i). Но тогда их произведение делится на (1 + i)² = 2i. Значит, b делится на 2, а b³ — на 8. Но тогда а² будет иметь остаток 7 при делении на 8, так как а² + 1 = b³. А значит, остаток 3 при делении на 4. А, как мы выяснили на предыдущей лекции, таких квадратов не существует. При делении на 4 квадрат дает в остатке либо 1, либо 0. Поэтому такого быть не может.

Значит, ни одного общего делителя у чисел (а + i) и (а − i) нет. Их произведение является поэтому кубом некоторого гауссова числа. Согласно основной теореме арифметики, из этого следует, что каждое из них само является кубом гауссова числа (снова с точностью до умножения на обратимый элемент 1, i, −1 или i). Но все они тоже кубы, так что сформулированное утверждение верно в точности: скажем, а + i = (m + ni)³.

Вдумайтесь, что мы сделали. Мы взяли обычное уравнение в целых числах. Зачем-то перешли в гауссовы числа и внутри гауссовых чисел разложили левую часть на множители. После чего, живя внутри гауссовых чисел, мы сказали, что тогда

а + i = (m + ni)³.

При этом а — целое не гауссово число. Гауссово число (а + i) живет на один шаг выше оси х.

Это число должно быть равно кубу некоторого гауссова числа.

Теперь вспомним формулу куба суммы и раскроем скобки:

а + i = (m + ni)³ = m³ + 3m²ni − 3mn² − n³i = (m³ − 3mn²) + i(3m²n − n³).

Комплексные числа равны, значит равны их вещественная и мнимая части:

а = m³ − 3mn², 1 = 3m²n − n³.

Я вернулся из гауссовых чисел в обычные целые числа. С помощью гауссовых чисел я сделал вывод, который никогда в жизни не сделал бы без них. Из а² = b³ − 1 я получил, что

3m²n − n³ = 1.

Теперь уже всё просто:

3m²n − n³ = 1, n(3m² − n²) = 1,

n и 3m² − n² — целые числа. Два числа дают в произведении 1 тогда и только тогда, когда они одновременно равны 1 или −1.

n = ±1, 3m² − n² = ±1.

Вы заметили, «единицу можно разложить на множители единственным способом: либо 1 умножить на 1, либо −1 умножить на −1». Второй способ неотличим от первого, так как второе решение можно сократить на «обратимое число» (−1). Так что второй случай кажется ненужным для рассмотрения — вроде как получается избыточная аргументация. Но, как будет видно ниже, второй случай отнюдь не лишний.

Мой учитель Саша Шень рассказывал замечательную историю про то, как он стал математиком «из-за избыточной аргументации». Ему подали рыбу, филе (я сам очень долго, лет до 30, думал, что филе — это название рыбы). Так вот. Ему подали филе, и он сказал: «Мама, ну тут кости! Ты можешь вынуть кости?» А мама применила следующий замечательный логический прием, поставив его на дорогу математика. Она сказала: «Так! Саша, во-первых, это филе, и костей в нём быть не может. А во-вторых, где ты видел рыбу без костей?» Саша настолько был потрясен такой «железобетонной» логикой, что после этого стал математиком.

Итак, разберем наши два случая. Хотя они одинаковы с точки зрения единственности разложения на множители, но они не одинаковы с точки зрения наличия решений!

Первый случай: n = 1, 3m² − n² = 1, следовательно, 3m² = 2. Но m — целое число. Значит, такого быть не может.

Второй случай: n = −1, 3m² − n² = −1, следовательно, 3m² = 0. Получаем m = 0.

а + i = (m + ni)³ = (0 − i)³ = (−i)³ = i.

Так как а + i = i, то а = 0. Но b³ = а² + 1, значит, b = 1.

Это — единственное решение исходного уравнения. Получается, что кроме тривиальных решений, других решений уравнения а² = b³ − 1