Кьяртан Поскитт - Математика для взрослых

Докажем, что a2 + b2 = c2

Внешние контуры обеих нижних фигур — это квадраты с длиной сторон (a + b). Это означает, что их площади равны и, следовательно, если из квадратов со стороной (a + b) вычесть площади четырех равных треугольников, то сумма площадей двух меньших квадратов будет равна площади большого квадрата. Вот мы и доказали, что a2 + b2 = c2!

ЧТО ТАКОЕ ВЕРОЯТНОСТЬ

Вероятность наступления какого-либо события измеряется в простых дробях или процентах. Если что-то произойдет наверняка (например, насколько вероятно, что в следующем году пойдет дождь?), вероятность равна 1, или 100%. Если что-то определенно не должно случиться (например, насколько вероятно, что у вас вырастут крылья?), вероятность равна 0, или 0%. Если же событие в равной степени либо произойдет, либо нет (например, каковы шансы, что вы подбросите монетку и выпадет «орел»?), вероятность равна 1/2, или 50%.

Когда событие крайне маловероятно, то проще сказать нечто вроде «вероятность выиграть джекпот в национальной лотерее Британии — примерно один шанс из 14 миллионов». Или, если точнее, это один шанс из 13 983 816, что соответствует дроби 1/13983816. Переводим ее в проценты и получаем 0,00000715%.

Игральные кости

У обычной игральной кости шесть граней, поэтому шанс выбросить какое-либо конкретное число равен 1/6, или 16,7%. Если же кидать две кости, может выпасть любая из 36 различных комбинаций.

Предположим, вам нужно выбросить 12 очков. Для этого должны выпасть две шестерки, и такой вариант только один среди 36 возможных комбинаций. Поэтому вероятность этого события составляет 1/36 = около 2,8%.

Теперь допустим, что вы хотите получить сумму костей, равную 3. Для этого должно выпасть 2 и 1 либо 1 и 2, то есть всего две подходящие комбинации. Ваши шансы: 2/36 = 1/18 = около 5,6%.

Чаще всего на костях выпадает сумма 7, поскольку для этого подходят шесть различных комбинаций. Вероятность такого события равна 6/36 = 1/6 = 16,7%.

Дни рождения

А теперь, пожалуй, самое странное утверждение в этой книге: если в результате случайного отбора собрать в одной комнате 30 человек, вероятность того, что двое из них родились в один день, составит 70%!

Чтобы это доказать, сперва выясним, каковы шансы, что ни у кого из 30 собравшихся дни рождения не совпадают (будем считать за совпадение одинаковый день и месяц, без учета года). Сначала в комнате находится один Фред, затем входит Джанет. Какова вероятность, что она родилась не в один день с Фредом? Будем считать, что в году 365 дней, и игнорировать високосные годы, потому что на ответ это практически не повлияет, но существенно усложнит вычисления.

Вероятность того, что Джанет родилась в один день с Фредом, равна 1/365. Следовательно, вероятность, что она не родилась с ним в один день, составит 364/365.

Третьим появляется Барни, и если день рождения Джанет не совпадает с днем рождения Фреда, то вероятность, что Барни не родился в один день с кем-то из них, равна 363/365. А вероятность того, что все трое родились в разные дни, составит:

364/365 × 363/365 = 99,18%

Входит Агнесс. Вероятность, что ее день рождения не совпадает с другими, равна 362/365, а вероятность, что все четверо родились в разные дни, составит:

364/365 × 363/365 × 362/365 = 98,37%

Постепенно комната заполняется, и мы перемножаем все больше и больше дробей, вычисляя вероятность несовпадения дат дней рождений. Когда в комнату заходит двадцать третий человек, происходит нечто странное. И наше уравнение приобретает следующий вид:

364/365 × 363/365 × 362/36 x… и так далее… × 345/365 × 344/365 × 343/365 = 49,27%

То есть шансов, что все родились в разные дни, теперь меньше 50%, а значит, вероятность совпадения дней рождения у двух человек уже немного превышает 50%. Выходит, такое совпадение скорее имеет место быть, чем не имеет!

К тому моменту, как в комнате соберется 30 человек, вероятность, что дни рождения у всех разные, снизится примерно до 30%, а вероятность, что двое из присутствующих родились в один день, составит около 70%. Если вам сложно в это поверить, в следующий раз, когда рядом окажутся 30 человек, поинтересуйтесь, когда они родились. Да, это удивительно, но факт.

Карты и покерные комбинации

Предположим, у вас есть обычная колода из 52 игральных карт и вы хотите знать, какова вероятность выпадения той или иной карточной комбинации. Некоторые из этих вероятностей довольно легко просчитать.

Каковы шансы, что вверху колоды будут две совпадающие по номиналу карты

Если перетасовать колоду и снять верхнюю карту, она может оказаться любой, например четверкой треф. В колоде есть еще три совпадающие с ней по номиналу карты: четверка червей, четверка пик и четверка бубей. Всего остается 51 карта, следовательно, вероятность, что следующая карта совпадает с уже открытой, составит 3/51. Эту дробь можно сократить, разделив числитель и знаменатель на 3, получаем 1/17.

Иначе говоря, если многократно перетасовывать колоду и открывать две верхние карты, две совпадающие карты в среднем будут выпадать один раз из 17.

Каковы шансы, что вам сдадут пять карт одной масти

Если вы играете в покер, это, к вашей великой радости, будет флеш. Но насколько это вероятно?

Первое, что нужно понимать: не имеет значения, берете ли вы пять карт сверху перетассованной колоды или сидите за одним столом с другими игроками и получаете карты по одной во время раздачи. Так что представим, что вы просто взяли из колоды пять верхних карт.

Верхняя карта может быть любой. Очевидно, что по масти она совпадает с собой же, то есть вероятность совпадения равна 1 (или 100%). Положим, это семерка бубей. Из оставшейся 51 карты 12 имеют ту же масть, стало быть, шанс, что и следующая карта совпадет по масти, составит 12/51.

Для третьей карты вероятность совпадения равна 11/50, поскольку среди 50 оставшихся карт 11 нужной масти, для четвертой карты — 10/49, а для пятой — 9/48. Чтобы вычислить вероятность совпадения масти для всех пяти карт, перемножим все эти вероятности.

Округлим последнюю некрасивую дробь: число 11 880 близко к 12 000, а 5 997 600 к 6 000 000. Это даст нам

12 000/6 000 000 = 1/500

Таким образом, ваш шанс получить подряд 5 карт одной масти примерно равен 1 из 500, или 0,2%.

Комбинации в покере

В покере комбинации ценятся тем выше, чем реже они выпадают. Вот их список в порядке уменьшения выигрыша:

1 из 650 000: флеш-рояль (туз, король, дама, валет, 10 — все одной масти);

1 из 72 000: стрит-флеш (пять последовательных карт одной масти, например 7, 8, 9, 10, валет);

1 из 4000: каре (четыре карты одного номинала);

1 из 700: фулл-хауз (тройка и пара карт одного номинала);

1 из 500: флеш (пять карт одной масти);

1 из 256: стрит (пять последовательных карт как минимум в двух мастях);

2%: тройка (например, три туза);

5%: две пары (например, две восьмерки и две тройки);

42%: пара (например, две дамы).

Покерный трюк на 10 карт

Как видите, любой фулл-хауз бьет тройку, а тройка бьет две пары. Вот трюк, которому я научился в Дублине у своего коллеги Роба Истэвея, тоже автора книг по математике. Предупреждаю: мы не несем никакой ответственности за то, как вы будете использовать эти сведения.

Вам понадобятся десять карт из колоды: три тройки и любая одиночная карта.

Играть нужно с другом — вы раздаете по пять карт ему и себе. Коварство фокуса в том, что вы с самого начала знаете, кто победит, а кто проиграет!

Секрет исключительно прост. Независимо от того, как перетасованы карты, игрок, которому достанется одиночная карта, проиграет! Если вы привыкли обращаться с картами, вам не составит труда придержать одну карту вверху или внизу колоды и убедиться, что она досталась нужному игроку. Если же вы не уверены в себе, слегка согните уголок одиночной карты, чтобы видеть, кому она досталась, и знать, кто победит.

Имеет смысл позволить вашему другу несколько раз вы­играть, а затем, когда он утратит бдительность, поднять ставки и отыграться.

Некоторые забавные вероятности

Люди обожают судачить о всяких странных случайностях. Вот их небольшая подборка, но не принимайте ее слишком всерьез!

Шансы найти четырехлистный клевер: 1 из 10 000, или 0,01%.

Вероятность, что беременная женщина вынашивает более чем одного ребенка, постепенно возрастает. На сегодняшний день шанс зачать двойню, тройню, а то и больше составляет примерно 3%.

Если во время того, как вы целитесь в мишень, играя в дартс, кто-то вдруг завяжет вам глаза и несколько раз повернет на месте, вероятность, что вы попадете в мишень вслепую, равна примерно 2%. При этом шанс попасть в яблочко составит 1 из 100 000. Но, пожалуйста, не стоит проверять это на практике.