Кьяртан Поскитт - Математика для взрослых

Если во время того, как вы целитесь в мишень, играя в дартс, кто-то вдруг завяжет вам глаза и несколько раз повернет на месте, вероятность, что вы попадете в мишень вслепую, равна примерно 2%. При этом шанс попасть в яблочко составит 1 из 100 000. Но, пожалуйста, не стоит проверять это на практике.

Вероятность при игре в гольф забить мяч с одного удара составляет предположительно 1 из 5000.

Вероятность, что вас поразит молния, примерно 1 из 3 000 000. По любопытному совпадению, такова же вероятность повстречать инопланетянина.

Вероятность, что в следующем столетии в нашу Землю врежется астероид, составляет 1 из 5000. И если этот огромный гадкий астероид таки сделает свое грязное дело, каковы шансы, что аккурат перед этим вы повесите сушиться белье? Примерно 100%.

Какова вероятность получить высший балл на экзаме­национном тесте, отмечая варианты наобум? Если в тес­те 30 вопросов, каждый с четырьмя вариантами ответа, то вероятность составит 1 из 430 = 1 152 921 504 606 846 976. Если же для прохождения теста достаточно угадать не менее 50% ответов, шансы на победу вычислить гораздо сложнее, но это будет примерно 1 шанс из 364. Впрочем, есть и хорошие новости: вероятность ответить неправильно на все вопросы составляет лишь 1 из 5600.

Две обманчивые вероятности

Люди часто заблуждаются, оценивая свои шансы на удачу, а вокруг, увы, полно бессовестных типов, которые этим пользуются, вовлекая доверчивых искателей легкого счастья во всевозможные аферы, а затем облапошивая их. Если вы один из таких прощелыг, вот пара несложных трюков вам на радость. Суть их в том, чтобы сначала убедить жертву, что удача на ее стороне, а затем обчистить до нитки.

Черные и белые карточки

И вот вы сидите за столом с бедным стариной Малькольмом и показываете ему три карточки: одна черная с обеих сторон, другая — белая, а третья с одной стороны черная, а с другой — белая.

Попросите Малькольма перетасовать не глядя карточки под столом, затем вытащить одну карточку и положить ее на стол так, чтобы никто из вас не заметил цвета нижней стороны. Остальные две карточки никто не должен видеть. Пусть верхняя сторона лежащей на столе карточки будет черная.

— Очевидно, это не белая с двух сторон карточка, — говорите вы, — значит, она или черная с белым, или черная с обеих сторон.

Малькольм глубокомысленно кивает в ответ.

— Выходит, что с равными шансами это та или другая карточка. (Малькольм снова кивает.) Спорим на один фунт, что другая сторона черная!

— Нет, спасибо, — отвечает Малькольм. Он что-то подозревает, хотя и не понимает, в чем подвох.

— Ой, да ладно, — подначиваете вы. — Знаешь, давай так: если другая сторона черная, ты платишь мне один фунт, а если белая, я плачу тебе полтора фунта. Годится?

Малькольму это предложение кажется слишком заманчивым, он кладет деньги на стол… и с вероятностью 2 шанса из 3 вы выигрываете. Иными словами, в среднем за три кона игры вы заплатите Малькольму полтора фунта, а он вам два.

А секрет вот в чем: какого бы цвета ни была верхняя сторона карточки, всегда ставьте на то, что другая сторона того же цвета. У двух карточек цвета сторон совпадают, и лишь у одной — разные. Поэтому у Малькольма всего один шанс на вы­игрыш из трех.

Если Малькольм всерьез задумается, он может догадаться, в чем дело, так что пора переходить ко второму трюку.

Трюк с двумя монетами

Этот трюк очень прост, но при этом весьма необычен! Идеально будет провернуть его с Малькольмом, когда он придет вместе со своей подругой Сандрой. Сандра поможет вам облегчить карманы Малькольма; нужно лишь, чтобы она выполняла ваши просьбы и не подсказывала Малькольму.

И что же получается, сделка выгодна для Малькольма? Конечно, нет. На самом деле вы снова должны выиграть с вероятностью 2 из 3. Хитрость в том, что при бросании монет кажется, будто есть три варианта того, как они могут лечь: два орла, две решки или орел и решка. Однако, взяв монеты разных размеров, вы увидите, что вариантов четыре:

Вы просили Сандру заново бросить монеты, если выпадут две решки, так что этот вариант исключен. Значит, когда дело дойдет до ставок, останется только три варианта. Когда Сандра покажет орла, в двух вариантах вторая монета лежит решкой. Поэтому в двух случаях из трех вы должны выиграть.

Прибыль букмекера

Предположим, перед вами стоит мешок с 12 шариками: один черный, 8 белых и 3 серых. Ваша задача — с закрытыми глазами вынуть один шарик из мешка. Если он черный, вы выиграли, но каковы шансы на победу? Очевидно, 1 из 12, что можно записать как 1/12.

Или же можно сказать, что есть 11 вариантов не вынуть черный шарик против одного варианта выигрыша. Получается коэффициент против выигрыша 11 к 1, который букмекеры обычно записывают как 11/1. Так они и рассчитывают ставки.

Букмекер, который не планирует получить прибыль, предложит вам коэффициент 11/1 против того, что вам попадется черный шарик. Если вы поставите 1 фунт и проиграете, фунт останется у букмекера. Если вы поставите 1 фунт и выиграете, он вернет ваш 1 фунт плюс еще 11 фунтов выигрыша.

Предположим, вы вынимаете шарики из мешка по одному. Вам известно, что 11 раз вы проиграете, а 1 раз выиграете. Если букмекер каждый раз будет предлагать вам коэффициент 11/1 после того, как вы достанете последний шарик, вы заплатите ему 11 × 1 фунт = 11 фунтов. Он же заплатит вам 1 × 11 фунтов = 11 фунтов, так что это честный, или чистый, коэффициент.

Вы решаете, что шансы вытащить черный шарик слишком малы, и потому хотите попытаться достать один из 8 белых шариков. Тогда вероятность вашего выигрыша составит 8/12. Букмекер говорит, что шансы против вашего выигрыша 4 к 8, то есть чистый коэффициент равен 4/8, или, после сокращения, 1/2. Если вы поставите 1 фунт и вытащите белый шарик, вы выиграете 1/2 × 1 фунт = 50 пенсов.

Как переводить букмекерские коэффициенты в вероятности

Наш букмекер также предлагает коэффициент 3 к 1 против того, что вы достанете один из серых шариков. Чтобы убедиться, что это чистый коэффициент, нужно преобразовать его в вероятность выбора серого шарика и посмотреть, верна ли она.

Из букмекерского коэффициента следует вероятность 1/4. Поскольку в мешке 3 серых шарика из 12, это дает вероятность 3/12, то есть 1/4. Выходит, это чистый (честный) коэффициент!

А вот хитрый момент. Положим, нам неизвестно, сколько в мешке шариков, мы только знаем, что они белые, серые и черные. Можно определить, насколько букмекер честен, посмотрев на все его коэффициенты, преобразовав их в вероятности и сложив их.

Черный шарик: коэффициент = 11/1, вероятность = 1/12

Белый шарик: коэффициент = 1/2, вероятность = 2/3

Серый шарик: коэффициент = 3/1, вероятность = 1/4

Если букмекер абсолютно честен, сумма вероятностей даст 1. Можно сложить три простые дроби или взять калькулятор, перевести их в десятичные и уже затем складывать, но в любом случае сумма вероятностей равна 1. Какой благородный букмекер! Жаль, что в реальности таких не существует.

Ставки в спорте (и вероятность того, что Элвис работает в кафетерии)

Что касается ставок в спорте, то здесь не получится столь же легко найти вероятности, как для шариков в мешке. Более того, букмекер не может быть честным в том смысле, о котором мы говорили выше, ведь ему нужно получать прибыль, чтобы платить за свою спортивную машину, массивный золотой браслет и виллу в Португалии.

Давайте полюбуемся на Честного Сида и выясним, какую прибыль он надеется получить.

Сперва преобразуем коэффициенты Сида в вероятности: для 5/4 вероятность будет 4/9 или 0,444, «ровно» означает 1/1, то есть вероятность 1/2, или 0,5, а для 11/2 вероятность составит 2/13, или 0,154. Если сложить все десятичные дроби, получится 1,098.

Это говорит о том, что на каждые 100 фунтов, выплачиваемые Сидом, по его ожиданиям должно прийтись 100 фунтов × 1,098 = 109,80 фунта, то есть его прибыль должна составить 9,80 фунта.

Некоторые букмекеры также принимают ирреальные ставки: к примеру, на то, что Элвиса Пресли найдут живым-здоровым и что он работает в кафетерии. Уж лучше купить лотерейный билет, и хотя шанс сорвать джекпот составляет лишь 1/13983816, по сути, это куда более вероятно. Как сказал бы сам Король рок-н-ролла: «Ну что же, раз (из примерно 14 миллионов) это ради денег...»11.

ПРОДВИНУТАЯ МАТЕМАТИКА

Итак, вы добрались почти до конца книги: поздравляю! Как насчет того, чтобы блеснуть интеллектом и доказать, что вам по зубам и более сложные теоретические штучки? Следующие два раздела посвящены математическим понятиям, которые вам вряд ли пригодятся в обыденной жизни, но с ними интересно в общих чертах ознакомиться, особенно если в школьные годы они являлись вам в кошмарах!