Иэн Стюарт - Математические головоломки профессора Стюарта

– Вы в самом деле учитесь, Ватсап. Очень хорошо: продолжайте.

Я улыбнулся в ответ на эту слабую похвалу, ведь услышать хоть какую-нибудь похвалу из уст Сомса не легче, чем выжать воду из камня.

– Ну, хорошо… теперь несложно проверить, что способ правильного заполнения ячеек только один. Числа во второй области расставляются вынужденно: так, в крайней правой клетке верхней строки должна стоять четверка, а затем четверки должны идти вниз по диагонали; затем две тройки также вынужденно встают на свои места, и, наконец, две двойки занимают оставшиеся пустыми клетки.

Эту задачу придумали Джерард Баттерс, Фредерик Хенле, Джеймс Хенле и Колин МакГоги, а опубликована она в журнале The Mathematical Intelligencer 33 No. 3 (Fall 2011) 102–105. См. также на сайте: http://www.math.smith.edu/~jhenle/clueless/

Приведем два принципиально разных решения головоломки Озанама:

Не забывайте: каждое из этих решений путем перестановок достоинств и мастей порождает 576 родственных решений, поэтому не удивляйтесь, если ваши решения выглядят не так, как приведенные. Если вы начинаете с ряда A♠ K♥ Q♦ J♣ (или можете привести свое решение в такую форму), вам достаточно подумать только о том, как преобразовать остальные три ряда.

– Все это просто трюк, Ватсап. При надлежащей подготовке он работает автоматически, какую бы последовательность складывания ни выбрали зрители.

– Чертовски умно, да? – заметил я.

Сомс хмыкнул.

– Когда Гудунни готовил колоду, он поместил тузы на 1 = e, 6, 11 и 16-е места, если считать сверху вниз. Поэтому, когда из колоды выложили квадрат, тузы легли вдоль диагонали из верхнего левого угла в правый нижний. Но лежали они рубашкой кверху, поэтому вы, разумеется, и не подозревали о подвохе.

– Представьте себе, что получится, если перевернуть диагональные карты лицом кверху. Тогда весь квадрат будет выглядеть как шахматная доска с тузами вдоль большой диагонали:

– Так вот, такой расклад обладает замечательным математическим свойством. Как бы вы ни складывали квадратное поле, на любом этапе карты, которые оказываются в результате на определенной позиции, будут смотреть лицом в одну и ту же сторону: либо вверх, либо вниз.

– Правда?

– Давайте попробуем. К примеру, мы могли бы начать со складывания вдоль центральной вертикальной линии. Представьте, как лягут при этом карты верхнего ряда. Третья (смотрит вверх) переворачивается (и смотрит вниз) и ложится сверху на вторую карту – она заранее лежит лицом вниз. Четвертая карта (вниз) тоже переворачивается (вверх) и ложится сверху на первую (тоже вверх).

Я начал смутно понимать, как все это работает.

– То же самое происходит и с остальными рядами?

– Точно. После первого складывания образуется прямоугольник из карт или маленьких стопочек карт. Карты в каждой стопочке смотрят в одну сторону (вверх или вниз), а весь набор стопочек имеет тот же вид шахматной доски, где чередуются карты лицом вверх и карты лицом вниз, как в первоначальном раскладе. Поэтому ровно то же самое происходит и при следующем складывании, и при следующем. К тому моменту, когда у нас образуется единая стопка, все карты в ней окажутся повернутыми лицом в одну сторону.

– Да, но ведь когда мы начинали, карты на диагонали лежали не той стороной, которая нужна для шахматного порядка, – заметил я.

Этой фразой я, откровенно говоря, хотел возразить Сомсу, но он буквально просиял от моей догадливости.

– Вот именно! Поэтому после складывания они снова лягут не той стороной. Поэтому вместо стопки из 16 карт, сложенных лицом в одну сторону, получится стопка из 12 карт, повернутых в одну сторону, и 4 – в другую.

Чертовски изобретательно!

Шахматный расклад обладает свойством, которое математики называют «цветовой симметрией». Линии складывания работают как зеркала, и зеркальное отражение каждой карты ложится на карту, которая смотрит в противоположную сторону. Эта идея используется при изучении расположения атомов в кристаллах. Изобретательность здесь проявилась в том, что математику превратили в эффектный карточный фокус. И сделал это не Гудунни. Он, по обыкновению, просто стащил этот фокус у его изобретателя Артура Бенджамина – математика и иллюзиониста из колледжа Харви Мадда в Калифорнии.

Ни одна из представленных фигур не является треугольником. У первой «гипотенуза» слегка выпирает вверх, у второй – слегка уходит вниз. Именно в этом месте скрывается недостающий квадратик.

Сомс удовлетворенно кивнул.

– Я понял, Ватсап, как надо! Ветрянка выходит, Геморрой выходит, Аневризма выходит, Ветрянка возвращается внутрь, Ботулизм выходит, Ветрянка выходит.

Мы начали деликатный процесс выманивания кошек через кошачью дверцу и запихивания их обратно внутрь.

– Осторожно, Сомс! – прошептал я. – Одна ошибка, и весь этот район превратится в дымящуюся воронку. Я пока не хочу предстать перед райскими вратами, да и кошек своих туда отправлять тоже не хочу. На мне брюки неглаженные, да и кошек неплохо бы причесать.

– Не беспокойтесь, Ватсап, – отозвался Сомс, хватая Ветрянку, пока несчастное животное не успело сигануть через изгородь. – Мое решение верно, не сомневайтесь.

– Я и не сомневаюсь в вашем решении, Сомс, – ответил я, лихорадочно пытаясь отыскать рядом что-нибудь прочное, за чем можно было бы спрятаться. – Э-э… а как вы пришли к этим выводам?

Он позаимствовал у меня блокнот и карандаш.

– Существует 16 возможных вариантов того, какие из кошек находятся в доме: АБВГ, АБВ, АБГ и т. д. вплоть до полного их отсутствия (обозначим это состояние *). Стрелкой → обозначим возможный переход от состояния к состоянию: он соответствует проходу одной кошки сквозь дверцу в ту или другую сторону.

– Первое условие исключает из числа возможных состояния АВ и АБВ. Второе исключает БГ и БВГ. Третье исключает АГ. Четвертое условие исключает ВГ. Пятое исключает переход А → *. Шестое исключает переход Б → *.

Я понял, что рассказ будет длинным.

– Далее, АБВГ → АВГ или АБГ. Однако АВГ → АВ, АГ или ВГ, а все эти комбинации исключены. Поэтому АБВГ → АБГ. Поскольку АБГ → АГ и АБГ → БГ исключены, мы должны принять АБГ → АБ. Но АБ → А бессмысленно, потому что А не в состоянии выйти наружу, если никого рядом нет. Так что АБ → Б. Однако Б после этого не может выйти, поэтому какая-то другая кошка должна будет войти. Но в варианте Б → АБ возвращаться придется А, которая только что вышла, а вариант Б → Г исключен, так что Б → БВ. Далее БВ → В → *.

– То же самое можно показать визуально, что в некоторых отношениях даже проще, – добавил он и набросал небольшую схему. – На этом рисунке показаны все 16 возможных комбинаций с кошками, а тонкие линии представляют возможные переходы между ними, когда кто-то из кошек выходит или входит. Черные точки исключены, два крестика исключают две линии перехода. Жирная линия – это единственный путь от АБВГ к * с использованием только разрешенных точек и линий и без возвратов.

Вскоре после этого я воссоединился со своими пушистыми друзьями.

– Сомс, как я смогу вас отблагодарить? – воскликнул я, радостно прижимая животных к своей груди.

Он взглянул на свой пиджак.

– Сможете, Ватсап, если станете почаще вычесывать своих кошек.

1. Нет, не любую.

2. Некоторые стопки из четырех блинов требуют четырех переворачиваний; пример вы видите на рисунке. На рисунке вы можете найти еще две такие комбинации. Никакая стопка из четырех блинов не требует больше четырех переворачиваний.

А вот систематический способ доказать эти утверждения. На схеме показана требуемая конечная конфигурация 1234, где размеры блинов указаны сверху вниз. Мы будем двигаться от нее в обратном порядке. Во второй строке показаны конфигурации, которые можно получить из 1234 одним переворотом. Одновременно это те конфигурации, которые можно упорядочить (то есть из которых можно получить 1234) одним переворотом. (Один и тот же переворот, повторенный дважды, возвращает стопку к первоначальной конфигурации.) В третьей строке показаны все конфигурации, которые можно получить из конфигураций первой строки одним переворотом. Они же – конфигурации, которые можно упорядочить до 1234 двумя переворотами. Обратите внимание: ровно одну конфигурацию третьей строки можно получить из двух конфигураций второй строки; это 1324. Поэтому схема в этом месте выглядит слегка асимметрично.