Иэн Стюарт - Математические головоломки профессора Стюарта

Сначала рассмотрим случай с равными временны́ми отрезками. Предположим, что машина едет со скоростью a время t, а затем со скоростью b то же время t. Полное расстояние, равное at + bt, занимает время 2t. Поэтому средняя скорость равна (at + bt)/2t, что равно (a + b)/2, то есть среднему арифметическому скоростей.

Теперь возьмем случай с равными расстояниями. Машина проезжает расстояние d на скорости a за время r. Затем она снова проезжает расстояние d, на этот раз со скоростью b за время s. Полное расстояние равно 2d, полное время равно r + s. Чтобы выразить это через скорости a и b, заметим, что d = ar = bs. Таким образом, r = d/a, а s = d/b. Тогда средняя скорость равна

Это выражение упрощается до 2ab / (a + b), что соответствует гармоническому среднему a и b. Эта величина обратна среднему арифметическому величин, обратных a и b, где под величиной, обратной x, подразумевается 1/x. Причина в том, что время, затраченное на дорогу, пропорционально величине, обратной скорости.

Эти головоломки также исходят от Джерарда Баттерса, Фредерика Хенле, Джеймса Хенле и Колина МакГоги. См.: Gerard Butters, Frederick Henle, James Henle, and Colleen McGaughey. Creating clueless puzzles, The Mathematical Intelligencer 33 No. 3 (Fall 2011) 102–105.

– Вор – Волверстон, – объявил Сомс.

– Ты уверен, Хемлок? От твоей правоты многое зависит.

– Никаких сомнений быть не может, Спайкрафт. Вот их заявления:

Арбатнот: Это сделал Берлингтон.

Берлингтон: Арбатнот лжет.

Волверстон: Это не я.

Гамильтон: Это сделал Арбатнот.

Мы знаем, что кто-то один из этих людей говорит правду, а остальные трое лгут. Существует четыре возможных варианта. Рассмотрим их по очереди.

Если только Арбатнот говорит правду, то из его слов нам становится известно, что виновен Берлингтон. Однако в этом случае Волверстон лжет, следовательно, виновен именно Волверстон. Это логическое противоречие, делаем вывод о том, что Арбатнот не говорит правду.

– Если только Берлингтон говорит правду, то…

– Волверстон лжет! – воскликнул я. – Так что виновен Волверстон!

Сомс сердито взглянул на меня – ведь я сорвал его эффектное выступление.

– Это так, Ватсап, и остальные заявления этому не противоречат. Так что мы уже знаем, что вор – Волверстон. Однако имеет смысл проверить и остальные два варианта, чтобы избежать даже малейшей возможности ошибки.

– Все абсолютно ясно, дружище, – сказал я.

Сомс достал трубку, но не стал ее зажигать.

– Если только Волверстон говорит правду, то заявление Берлингтона ложно, следовательно, Арбатнот говорит правду. Снова противоречие, поскольку известно, что он лжет. Если только Гамильтон говорит правду, возникает это же противоречие. Поэтому единственный возможный вариант – тот, где правду говорит только Берлингтон, и тогда вор – Волверстон. Как Ватсап проницательно заметил.

– Благодарю вас, джентльмены, – сказал Спайкрафт. – Я знал, что могу на вас положиться.

По его жесту в комнату тенью проскользнула какая-то фигура. Короткий разговор шепотом, и человек вновь исчез.

– В жилище доктора будет немедленно проведен обыск, – сказал Спайкрафт. – Я уверен, что документ будет найден.

– Значит, мы спасли империю! – воскликнул я.

– До следующего раза, когда кто-нибудь оставит секретные документы на сиденье какого-нибудь кэба, – сухо заметил Сомс.

По пути домой я прошептал на ухо своему спутнику:

– Сомс, если Спайкрафт – специалист по простым числам, то что он делает в контрразведке? Ведь здесь не может быть никакой связи, правда?

Он внимательно посмотрел на меня и покачал головой. Что имелось в виду – отсутствие связи, о которой я говорил, или предупреждение и совет не развивать эту тему, – мне неизвестно.

123456 × 8 + 6 = 987654;

1234567 × 8 + 7 = 9876543;

12345678 × 8 + 8 = 98765432;

123456789 × 8 + 9 = 987654321.

Здесь не до конца ясно, что «должно» идти следующим: может быть,

234567890 × 8 + 10,

что равно 9876543130, так что закономерность на этом прекращается. Но, может быть, мне следовало взять (123456789) × 10 + 10 = 12345678900. Тогда

12345678900 × 8 + 10 = 9876543210.

Далее

(12345678900) × 10 + 11 = 123456789011,

что приводит нас к

12345689011 × 8 + 11 = 98765432099

и т. д. Если поэкспериментировать, можно поймать другую закономерность, которая продолжается до бесконечности.

Гипотеза Эллиота – Халберстама[37] носит очень специальный характер. Пусть π (x) – число простых чисел, меньших или равных x. Для любого положительного целого q и a, не имеющего с q общих делителей, за исключением 1, пусть π (x; q, a) – число простых чисел, меньших или равных x и равных a (mod q). Это приблизительно равно π(x) / φ(q), где φ – это пси-функция Эйлера, число целых чисел от 1 до q – 1, не имеющих с q общих делителей. Рассмотрим максимальную возможную ошибку:

Гипотеза Эллиота – Халберстама говорит о том, насколько велика эта ошибка: гипотеза утверждает, что для любых θ < 1 и A> 0 существует постоянная C> 0 такая, что

Вот одно такое решение:

Объяснение см. в главе «Знак одного. Часть третья».

Вы могли бы сделать это вручную с использованием разложения на простые множители, если бы потратили на это день-другой. Вам пришлось бы выяснить, что

44 758 272 401 = 17 × 17 683 × 148 891;

13 164 197 765 = 5 × 17 683 × 148 891.

Затем вы могли бы сделать вывод, что НОД равен 17 683 × 148 891 = 2 632 839 553.

При использовании алгоритма Евклида весь расчет выглядит так:

(13 164 197 765; 44 758 272 401) → (13 164 197 765; 31 594 074 636) → (13 164 197 765; 18 429 876 871) → (5 265 679 106; 13 164 197 765) → (5 265 679 106; 7 898 518 659) → (2 632 839 553; 5 265 679 106) → (2 632 839 553; 2 632 839 553) → (0; 2 632 839 553).

Следовательно, НОД равен → 2 632 839 553.

123456789 × 1 = 123456789;

123456789 × 2 = 246913578;

123456789 × 3 = 370370367;

123456789 × 4 = 493827156;

123456789 × 5 = 617283945;

123456789 × 6 = 740740734;

123456789 × 7 = 846197523;

123456789 × 8 = 987654321;

123456789 × 9 = 1111111101.

В этих числах присутствуют все девять ненулевых цифр в разном порядке, за исключением тех случаев, когда мы умножаем на число, кратное 3 (то есть на 3, 6 и 9).

Поскольку

62 = 7 × 9–1 = 7/0,(1) – 1,

мы можем воспользоваться представлением 7 через две единицы, чтобы получить 62 из четырех единиц.

Долгое время Сомс и Ватсап никак не могли выразить 138 через четыре единицы, но потом, воспользовавшись озарением Ватсапа про квадратные корни и факториалы и применив системный подход, они в конце концов выяснили, что 138 можно получить с использованием всего лишь трех единиц. Стартовой позицией, опять же, является семерка, выраженная через две единицы, и тогда

И наконец,

138 = 46/√0,(1),

что, кстати говоря, представляет собой хитрый способ умножения на 3 с использованием всего одной дополнительной единицы.

Persi Diaconis, Susan Holmes, and Richard Montgomery, Dynamical bias in the coin toss, SIAM Review 49 (2007) 211–223.

То же в популярном изложении: Persi Diaconis, Susan Holmes, and Richard Montgomery, The fifty-one percent solution, What's Happening in the Mathematical Sciences 7 (2009) 33–45.

Аналогичные эффекты возникают при бросании костей – не только обычных кубиков, но и любых правильных многогранников. См.: J. Strzalko, J. Grabski, A. Stefanski, and T. Kapitaniak, Can the dice be fair by dynamics? International Journal of Bifurcation and Chaos 20 No. 4 (April 2010) 1175–1184.

– Ваше упущение, – сказал Сомс, – состояло в том, что вы не заметили, что двигаться могут не только стаканы, но и налитое в них вино. Я просто возьму второй и четвертый стаканы и перелью их содержимое в седьмой и девятый.