Владимир Успенский - Апология математики, или О математике как части духовной культуры

Гипотеза Пуанкаре как раз и имеет качественный характер — как и вся та область математики (а именно топология), к которой она относится и в создании которой Пуанкаре принял решающее участие.

На современном языке гипотеза Пуанкаре звучит так: всякое односвязное компактное трёхмерное многообразие без края гомеоморфно трёхмерной сфере.

В следующих абзацах мы постараемся хотя бы частично и очень приблизительно разъяснить смысл этой устрашающей словесной формулы.

Для начала заметим, что обычная сфера, которая есть поверхность обычного шара, двумерна (а сам шар — тот трёхмерен). Двумерная сфера состоит из всех точек трёхмерного пространства, равноудалённых от некоторой выделенной точки, называемой центром и сфере не принадлежащей. Трёхмерная сфера состоит из всех точек четырёхмерного пространства, равноудалённых от своего центра (сфере не принадлежащего). В отличие от двумерных сфер трёхмерные сферы недоступны нашему непосредственному наблюдению, и нам представить себе их так же трудно, как Василию Ивановичу из известного анекдота квадратный трёхчлен. Не исключено, однако, что все мы как раз в трёхмерной сфере и находимся, то есть что наша Вселенная является трёхмерной сферой. В этом состоит значение результата Перельмана для физики и астрономии. Термин «односвязное компактное трёхмерное многообразие без края» содержит указания на предполагаемые свойства нашей Вселенной. Термин «гомеоморфно» означает некую высокую степень сходства, в известном смысле неотличимость. Формулировка в целом означает, следовательно, что если наша Вселенная обладает всеми свойствами односвязного компактного трёхмерного многообразия без края, то она — в том же самом «известном смысле» — и есть трёхмерная сфера.

Понятие односвязности — довольно простое понятие. Представим себе канцелярскую резинку (то есть резиновую нить со склеенными концами) столь упругую, что она, если её не удерживать, стянется в точку. От нашей резинки мы потребуем ещё, чтобы при стягивании в точку она не выходила за пределы той поверхности, на которой мы её расположили. Если мы растянем такую резинку на плоскости и отпустим, она немедленно стянется в точку. То же произойдёт, если мы расположим резинку на поверхности глобуса, то есть на сфере. Для поверхности спасательного круга ситуация окажется совершенно иной: любезный читатель легко найдёт такие расположения резинки на этой поверхности, при которой стянуть резинку в точку, не выходя за пределы рассматриваемой поверхности, невозможно. Геометрическая фигура называется односвязной, если любой замкнутый контур, расположенный в пределах этой фигуры, можно стянуть в точку, не выходя за названные пределы. Мы только что убедились, что плоскость и сфера односвязны, а поверхность спасательного круга не односвязна. Не односвязна и плоскость с вырезанной в ней дырой. Понятие односвязности применимо и к трёхмерным фигурам. Так, куб и шар односвязны: всякий находящийся в их толще замкнутый контур можно стянуть в точку, причём в процессе стягивания контур будет всё время оставаться в этой толще. А вот баранка не односвязна: в ней можно найти такой контур, который нельзя стянуть в точку так, чтобы в процессе стягивания контур всё время находился в тесте баранки. Не односвязен и крендель. Можно доказать, что трёхмерная сфера односвязна.

Надеемся, что читатель не забыл ещё разницу между отрезком и интервалом, которой обучают в школе. Отрезок имеет два конца, он состоит из этих концов и всех точек, расположенных между ними. Интервал же состоит только из всех точек, расположенных между его концами, сами же концы в состав интервала не входят; можно сказать, что интервал — это отрезок с удалёнными из него концами, а отрезок — это интервал с добавленными к нему концами. Интервал и отрезок являются простейшими примерами одномерных многообразий, причём интервал есть многообразие без края, а отрезок — многообразие с краем; край в случае отрезка состоит из двух концов. Главное свойство многообразий, лежащее в основе их определения, состоит в том, что в многообразии окрестности всех точек, за исключением точек края (которого может и не быть), устроены совершенно одинаково. При этом окрестностью какой-либо точки A называется совокупность всех точек, расположенных вблизи от этой точки A. Микроскопическое существо, живущее в многообразии без края и способное видеть только ближайшие к себе точки этого многообразия, не в состоянии определить, в какой именно точке оно, существо, находится: вокруг себя оно всегда видит одно и то же. Ещё примеры одномерных многообразий без края: вся прямая линия целиком, окружность. Примером одномерной фигуры, не являющейся многообразием, может служить линия в форме буквы T: здесь есть особая точка, окрестность которой не похожа на окрестности других точек — это точка, где сходятся три отрезка. Другой пример одномерного не-многообразия — линия в форме восьмёрки; в особой точке здесь сходятся четыре линии. Плоскость, сфера, поверхность спасательного круга служат примерами двумерных многообразий без края. Плоскость с вырезанной в ней дырой также будет многообразием — а вот с краем или без края, зависит от того, куда мы относим контур дыры. Если мы относим его к дыре, получаем многообразие без края; если оставляем контур на плоскости, получаем многообразие с краем, каковым и будет служить этот контур. Разумеется, мы имели здесь в виду идеальное математическое вырезание, а при реальном физическом вырезании ножницами вопрос, куда относится контур, не имеет никакого смысла.

Несколько слов о трёхмерных многообразиях. Шар вместе со сферой, служащей его поверхностью, представляет собою многообразие с краем; указанная сфера как раз и является этим краем. Если мы удалим этот шар из окружающего пространства, получим многообразие без края. Если мы сдерём с шара его поверхность, получится то, что на математическом жаргоне называется «ошкуренный шар», а в более научном языке — открытый шар. Если удалить открытый шар из окружающего пространства, получится многообразие с краем, и краем будет служить та самая сфера, которую мы содрали с шара. Баранка вместе со своей корочкой есть трёхмерное многообразие с краем, а если отодрать корочку (которую мы трактуем как бесконечно тонкую, то есть как поверхность), получим многообразие без края в виде «ошкуренной баранки». Всё пространство в целом, если понимать его так, как оно понимается в средней школе, есть трёхмерное многообразие без края.

Математическое понятие компактность отчасти отражает тот смысл, какой слово «компактный» имеет в повседневном русском языке: ‘тесный’, ‘сжатый’. Геометрическая фигура называется компактной, если при любом расположении бесконечного числа её точек они накапливаются к одной из точек или ко многим точкам этой же фигуры. Отрезок компактен: для любого бесконечного множества его точек в отрезке найдётся хотя бы одна так называемая предельная точка, любая окрестность которой содержит бесконечно много элементов рассматриваемого множества. Интервал не компактен: можно указать такое множество его точек, которое накапливается к его концу, и только к нему, — но ведь конец не принадлежит интервалу! За недостатком места мы ограничимся этим комментарием. Скажем лишь, что из рассмотренных нами примеров компактными являются отрезок, окружность, сфера, поверхности баранки и кренделя, шар (вместе со своей сферой), баранка и крендель (вместе со своими корочками). Напротив, интервал, плоскость, ошкуренные шар, баранка и крендель не являются компактными. Среди трёхмерных компактных геометрических фигур без края простейшей является трёхмерная сфера, но в нашем привычном «школьном» пространстве такие фигуры не умещаются.

Самое, пожалуй, глубокое из тех понятий, которые связывает между собой гипотеза Пуанкаре, — это понятие гомеоморфии. Гомеоморфия — это наиболее высокая ступень геометрической одинаковости. Сейчас мы попытаемся дать приблизительное разъяснение этому понятию путём постепенного к нему приближения.

Уже в школьной геометрии мы встречаемся с двумя видами одинаковости — с конгруэнтностью фигур и с их подобием. Напомним, что фигуры называются конгруэнтными, если они совпадают друг с другом при наложении. В школе конгруэнтные фигуры как бы не различают, и потому конгруэнтность называют равенством. Конгруэнтные фигуры имеют одинаковые размеры во всех своих деталях. Подобие же, не требуя одинаковости размеров, означает одинаковость пропорций этих размеров; поэтому подобие отражает более сущностное сходство фигур, нежели конгруэнтность. Геометрия в целом — более высокая ступень абстракции, нежели физика, а физика — чем материаловедение. Возьмём, к примеру, шарик подшипника, бильярдный шар, крокетный шар и мяч. Физика не вникает в такие детали, как материал, из которого они сделаны, а интересуется лишь такими свойствами, как объём, вес, электропроводность и т. п. Для математики — все они шары, различающиеся только размерами. Если шары имеют разные размеры, то они различаются для метрической геометрии, но все они одинаковы для геометрии подобия. С точки зрения геометрии подобия одинаковы и все шары, и все кубы, а вот шар и куб — не одинаковы.